设罐中有 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 个黑球、[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex] 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入 [tex=3.5x1.357]aIaKpwFG5ojnNjC3IvBXqw==[/tex] 个同色的球. 试证: 第 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 次取到黑球的概率为 [tex=8.0x1.357]VmSQwJlbQxbqv7R2RRGryv9oVUbVqoKL8lHY4qedshE=[/tex].

2022-05-28

设罐中有 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 个黑球、[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex] 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入 [tex=3.5x1.357]aIaKpwFG5ojnNjC3IvBXqw==[/tex] 个同色的球. 试证: 第 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 次取到黑球的概率为 [tex=8.0x1.357]VmSQwJlbQxbqv7R2RRGryv9oVUbVqoKL8lHY4qedshE=[/tex].

答案：

证: 设 [tex=3.071x1.357]joM8Kgnl44jtypzlRvacpg==[/tex] 表示“罐中有 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 个黑球、[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex] 个红球时，第 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 次取到黑球”, [tex=4.357x1.214]iB1Q3Qd+Pj8uoRLyw312bumBtqqAXN3ybalayzGhkkk=[/tex]，用数学归纳法证明 [tex=7.714x2.5]4EcFAiHZHVW/K+wCJkzyw/oKcPnjMx9Ebsa403wVnUzCVVwQUJjrRPRFbf/q6rSk[/tex],当 [tex=1.857x1.0]OOCNL5kYsSAsw4bFH0eW7A==[/tex] 时, [tex=8.643x2.5]WlO9X8yDN+hNCdK60h4T9nvxzd+0RwXR6tfzKme0mEVb9Ra6I0iYauOCnvYsGHHCqzkQxtKLZlLOMUg4Dg6nig==[/tex]， 结论成立,设对于 [tex=1.857x1.143]9oaz1xzIf7u+1WQ7lUx2Fw==[/tex]， 结论成立, 即 [tex=8.571x2.5]2KqPgqUkRTtPPDoyEcJ2PcxCro3+VhtAlvwaKdfrStrGpiS5dx11XC+JkT09vC2S[/tex],对于 [tex=0.571x1.0]nMMvvoMxfdATjO0Lek+hAw==[/tex]， 设 [tex=2.5x1.214]E5sEM4P+lyV2ZBqbatSFfw==[/tex] 分别表示“第一次取到黑球、红球",有 [tex=30.0x1.357]TgpHu+nAt08pMylREarrgQbXW3MxfkB4M3StsiZoOPMWXIa2rEzaPahqL9cNPeiNoHg9ZNul1Ii7YcMYtyAgdUbwN6QJzv3x8bQYEUm/g4wMTk0/yUPX3HoshoQsGlKkMTI+kCFLtkCLsu3MZxJEAThhpXAedK2/lnatKOaOeGjkGprw6iMt1DGn3r9YR7eh[/tex]，[br][/br]则 [tex=34.0x5.429]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[/tex]故对于 [tex=0.571x1.0]nMMvvoMxfdATjO0Lek+hAw==[/tex]， 结论成立, [tex=7.714x2.5]4EcFAiHZHVW/K+wCJkzyw/oKcPnjMx9Ebsa403wVnUzCVVwQUJjrRPRFbf/q6rSk[/tex].

举一反三

内容

0
口袋中 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 个白球， [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 个黑球和 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为 [tex=3.571x1.357]rC4jCu84NpROucXpRq3ExQ==[/tex]，与 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 无关.
1
口袋中有 [tex=1.929x1.143]qMmLG3OT6I+UYFeehawKuA==[/tex] 个黑球和 1 个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球。问第 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 次摸球时，摸到黑球的概率是多少?
2
口袋中有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个黑球和[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]个白球,从其中一次次地取球,每次任取一个,取后不放回,若前[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]次已取出 [tex=3.786x1.357]1SvMqpRzQ2p7bkhLnLtjhA==[/tex]个黑球和[tex=3.857x1.357]iaCUHHG/Q4eunJPCiul1+g==[/tex]个白球,[tex=4.0x1.143]VOwmzup/S3iXGhBfzAkUkQ==[/tex],求第[tex=1.786x1.143]0I+mivUTc61+gHYMZ4P6UA==[/tex]次取得白球的概率.
3
口袋中有 1 个白球，1 个黑球. 从中任取 1 个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入 1 个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率.（1）取到第 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次，试验没有结束;（2）取到第 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次，试验恰好结束.
4
袋中有[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]球,其中[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]个红球、[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]个白球、[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]个黑球[tex=6.214x1.357]9cd23L7i/RJiYWDv4NITmA==[/tex],每次从袋中任取一球,共取[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次.设[tex=1.214x1.214]BrCDDY9cc4CCEczFkSUkLw==[/tex]分别表示[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次取球取出红球和白球的次数,在下列两种情况下,求二维随机变量[tex=2.214x1.357]p6HDDSVbX8TarWXhfmrDgg==[/tex]的分布律.(1) 每次取出的球仍放回去(放回抽样);(2) 每次取出的球不放回去(不放回抽样).