举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的有限扩张，证明[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是完备域充分必要条件为 $[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是完备域。
- 证明：在数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上，一个向量空间如果含有一个非零向量， 那么它一定含有无限多个向量。
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵。证明：存在[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个非零多项式[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，使得[tex=3.571x1.357]OOyEFi5Qx/r8c8gc6BAiHg==[/tex]。
- 设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的有限扩张，证明[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]中存在关于[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的本原元素的充分必要条件是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]与[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]间只有有限个中间域。
- 令 [tex=12.071x2.786]u8TxporCqXrIJaXT4JUQiwf41Dyx87GWao3qqHnKGkkruJN6m2QPs4xV7d/8wh6Pg+R7E5oA28b624MjsQUzpx2w+V+Y1TCLoYRnbKJ31mnR+RNz2mToCVXDiQr5cwAjM1tFBllEnCswlt4NqZJXpQ==[/tex] 证明: [tex=0.643x1.0]A15DzQu7iMDGcxSH5TbCIQ==[/tex] 对于矩阵的加法与乘法成为一个域,并且域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 与复数域同构.
内容
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我们看有理数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的全部 [tex=2.286x1.143]lL/KTIAdeAGi+eDPP+Lq6A==[/tex] 矩阵环 [tex=1.643x1.214]GUp1kXxG7MpXQYitx0FWPA==[/tex] 证明 , [tex=1.643x1.214]GUp1kXxG7MpXQYitx0FWPA==[/tex]只有零理想同单位理想，但不是一除环.
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[tex=2.857x1.357]pK2ESY29n1geHZesV8kOqw==[/tex]为域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上全体[tex=2.429x1.071]fYRl1cpBZV0k8ULAvI7FIg==[/tex]阵作成的环, [tex=2.714x1.143]VIAETkOIJHidy5tnBH3PrBhpI7VspdiEbfRjo6JvIA0=[/tex]年出其中零因子的例子.
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设[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是一个域，证明：[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]元多项式环[tex=7.143x1.357]U7UdTny7RALN3G0mQFzu1AtTrEgdXJA7O/YPWhJaEJl9rD6ocg7FvGe5x7ngJ6Ph[/tex]是无零因子环，从而消去律成立。
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设[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是一个域，证明：在[tex=7.143x1.357]U7UdTny7RALN3G0mQFzu1AtTrEgdXJA7O/YPWhJaEJl9rD6ocg7FvGe5x7ngJ6Ph[/tex]中，有[tex=8.857x1.214]V1D753We7vezsBlKQyfrUtR6YMsDq3U4w3jq66akS8Bkuotl5zghTUR+7D0uu+eevzhG3WxPHRd0AmBEgqzwSl+bejlECi7PdutYT2SLGm8=[/tex]。
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设[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是一个域，证明：在[tex=7.143x1.357]U7UdTny7RALN3G0mQFzu1AtTrEgdXJA7O/YPWhJaEJl9rD6ocg7FvGe5x7ngJ6Ph[/tex]中，有[tex=8.857x1.214]V1D753We7vezsBlKQyfrUtR6YMsDq3U4w3jq66akS8Bkuotl5zghTUR+7D0uu+eevzhG3WxPHRd0AmBEgqzwSl+bejlECi7PdutYT2SLGm8=[/tex]。