设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的有限扩张，证明[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是完备域充分必要条件为 $[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是完备域。

2022-06-10

设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的有限扩张，证明[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是完备域充分必要条件为 $[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是完备域。

答案：

证明：若[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是完备域，因[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的有限扩张，因而是代数扩张，故[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是完备域，反之，设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]完备域，若 [tex=6.857x1.0]i+DVPOZZfbtwzlk7qK4ILrUqBcBNzTmV6dtAK0UX2S9y0/PT67I2Dalu0ADDQQke[/tex]，[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]自然是完备域，故设[tex=8.714x1.214]i+DVPOZZfbtwzlk7qK4ILrUqBcBNzTmV6dtAK0UX2S+mSLgrmD6dknL10L1s8/6N38kMmZr4S3qMcrIsh6vX/Q==[/tex]，令 [tex=4.357x1.357]Vkt7bPiXourv4eCxRzoye2CLHpkVuJAN0eiNQH8L3H0=[/tex]，[tex=3.071x1.071]GWux55bYtfdPhVuYXsrgDQ6givAZrX4tFWSRKQgHIjU=[/tex]，因为[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是完备域，所以[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]的自同构，故有 [tex=4.214x1.357]z7Sy3NhhuQFO9ZUVAHPMdA==[/tex]，注意[tex=4.0x1.357]Yx87a82aqSXLGHX4YRIqNgrr4inqHk+0XXjhkuMvWG4=[/tex]，于是有[tex=23.214x1.357]zmuVVbozqVRaON9sPw8CmFAtTzpOohW7Jj3+EqoSbIcjO7b1zWUk2P1n7vNUfANzy76KGu6iWUIuyIT3XwrKVIiFeky6vcbJv5i5U+dokYU=[/tex]，因此[tex=5.857x1.357]C60EounmUDAa5w2zuaSShHjrVXbNUASeaoE/kSdtmZE=[/tex]，[tex=4.0x1.357]96r9UYuKvAlnF+XVX0a3Yg==[/tex]，故[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是完备域。

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵。证明：存在[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个非零多项式[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，使得[tex=3.571x1.357]OOyEFi5Qx/r8c8gc6BAiHg==[/tex]。
1
设[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]是素数，[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是域，[tex=3.786x1.214]Aw3CDihCL1ffMmVzlgh/Gc+QQcOIVGu5mkbxsO3H328=[/tex]且[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]包含[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]次单位根，[tex=2.0x1.071]fn8qSvoGdKV5LvM1JyIK2g==[/tex]，求[tex=2.429x1.143]yW4k+iHURSbQxcCAtP9FKg==[/tex]对[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的群。
2
设 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是特征数为 2 的素域,求出[tex=1.929x1.357]ZvK0aUQmCRkwWSUtHsIu+g==[/tex]的一切三次不可约多项式,其 [tex=1.929x1.357]ZvK0aUQmCRkwWSUtHsIu+g==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的一元多项式环.
3
设域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的特征[tex=2.357x1.214]pbc4vZT08gszjwicRtTRnQ==[/tex]，[tex=2.0x1.357]b5RgJKaKKPxfWp6M6XOn8A==[/tex]，试求[tex=2.357x1.143]RXPUuGtyMsNdtHsopW2V8w==[/tex]对[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的群。
4
设[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是一个域，证明：在[tex=7.143x1.357]U7UdTny7RALN3G0mQFzu1AtTrEgdXJA7O/YPWhJaEJl9rD6ocg7FvGe5x7ngJ6Ph[/tex]中，有[tex=8.857x1.214]V1D753We7vezsBlKQyfrUtR6YMsDq3U4w3jq66akS8Bkuotl5zghTUR+7D0uu+eevzhG3WxPHRd0AmBEgqzwSl+bejlECi7PdutYT2SLGm8=[/tex]。