设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个只有有限多个元素的交换环，且[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]没有零因子。证明[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个域。

2022-06-19

设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个只有有限多个元素的交换环，且[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]没有零因子。证明[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个域。

答案：

证 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]至少有一个非零元，因[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]无零因子，故消去律成立。 考虑[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的非零元的集合[tex=8.714x1.357]7IDFF0pk7wxuVKGaXr8Cr328rSvvypYxkH0Tz8or7efr/wonbOh3KRnRSo2AJ9y6[/tex]。用[tex=1.214x1.071]Wh0cHB8A5qkifxnrRmloRQ==[/tex]的元[tex=0.786x1.0]k2s61G+KZI8Yw0ah0O7QEQ==[/tex]左乘[tex=1.214x1.071]Wh0cHB8A5qkifxnrRmloRQ==[/tex]的每一个元得集合[tex=1.0x1.214]cyhlvDt6IWT2xgHwH4eekw==[/tex]。因[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]无零因子，故[tex=3.5x1.286]CqJTvFkvuau6ez5r80Zc7jjYdRM7PtmQf7S6+3/gfjM=[/tex]。又因消去 律成立, [tex=7.643x1.357]DZ3qtBSmwa1V5pnJfanOym4P8MPydIRM//rrG4J718cc+D7xns2TZksgNT3+Hu4S[/tex]，故[tex=3.0x1.286]jehFZt/AWrToSHZVdMW7bg==[/tex]。同理用[tex=0.786x1.0]k2s61G+KZI8Yw0ah0O7QEQ==[/tex]右乘[tex=1.214x1.071]Wh0cHB8A5qkifxnrRmloRQ==[/tex]中的每一个元所得的集合与[tex=1.214x1.071]Wh0cHB8A5qkifxnrRmloRQ==[/tex]相同，即[tex=16.643x2.786]9aLlVQRnxTOIEVBWSS9h+/vhoAbWLqJR37oKmZz8AmPC1TWqXuUXCvTxZYgRChbNQcApGXKjn85Sux5Zwg+l5YVP/svhtjfneTLT7fGs+mKJLmowUufDu2Zxeh/giAizeV2ILrboDImsleOp68Q4MxR7e4DCCaZ0SIIjnWNKg8S/wpHrekl4HZZI0hLzsInMCSm7QwbZyW4H3SDKbVzjiPt2nyTIIBvHimVKElmo/xA=[/tex]从而方程[tex=3.0x1.071]9Ftyjd9JF96fPNQgFjD7ig==[/tex]，[tex=2.857x1.071]oPih59CvXo6ShBJp7fr4Bw==[/tex]对任意[tex=0.786x1.0]k2s61G+KZI8Yw0ah0O7QEQ==[/tex]，[tex=2.643x1.357]GzGNZeA966dE3BNMy+ihfZuo8HDaj3ke27+EogIfKKE=[/tex]在[tex=1.214x1.071]Wh0cHB8A5qkifxnrRmloRQ==[/tex]有解。 在[tex=1.214x1.071]Wh0cHB8A5qkifxnrRmloRQ==[/tex] 内令[tex=2.357x1.0]5cfACibjzklCgRH0SdsCEA==[/tex]的解为 [tex=0.857x1.0]XE0/tKHnByPyhkE7JayB+Q==[/tex]，对任意[tex=0.429x1.0]MFNb9O03Kg08NVHdCr/E1A==[/tex]，由[tex=2.357x1.0]9iZHOhKtnvrW8dCgp9EP6Q==[/tex]的可解性得[tex=11.643x1.357]j8Dv71IF7hwcLQwjYTLSOh2BIHOaB8zADYR0jCPTBL1orZxRrgUEZUccuUfiCGlkxEYS+ymNepTWldv8NKLhxQ==[/tex]。同样，记[tex=2.429x0.786]29R5Ixys9cGWfOTZjIC2oQ==[/tex]的解为[tex=0.857x1.0]NE5viVQtUJ1Z7sNTvKYsYg==[/tex]，对任意[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]，由[tex=2.286x1.214]oCa3MkZqnlK2WGEZo9rlLw==[/tex]的有解性得[tex=11.429x1.357]nfc25zlhl/97gtArb5y1LdGPAqha4YYuh1KmAhmcD7ch0Td9X/ByIBpzrZ04iyVp4ArCYSatKwdeqeWTxCgycg==[/tex]。易见[tex=4.857x1.0]tFNFFP1ZbvkFuiTI5w382SFs82hCTo6onXUSz2VZguU=[/tex]。记[tex=3.714x1.0]iNAgXtm32n3YUExJaU0vQQ==[/tex]，显然[tex=4.0x1.0]6n8nRkmgwyYEFPBDkoEGuA==[/tex]，故[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位元。 再设[tex=2.429x1.214]if8LlGdz9TZkR2mvx0YYVg==[/tex]而 [tex=2.357x0.786]zuK5JepBQNx3MoOcz9eQfQ==[/tex]的解为[tex=0.786x1.143]GwaPU2wMJheLA8p7PO4NFA==[/tex]，[tex=2.286x1.0]CXsV+fc78tcBlzfMLRB90Q==[/tex]的解为[tex=1.0x1.143]zbPJBDDs/1OJ90tew5jzs0BX3o95USvZmRK1iY6QVu8=[/tex]，则[tex=17.214x1.5]dmfzG3OC/+ByzcEMj83krpDdPGXvpeNNwc1wCL8Y1m9/ldOFcH5pGyq9qCaq9Oc8EVHdWz7Zo1FSSNI20BbqrMkUdnRJbu7FdMWtUbeDG1Di90YB6lThw3XjcV1n1AsGv6XNzKdp+rZXDkdq5vEUG4dG27oJ2BKZdOqA6wlhWRMhJMgl8eKcITY/jU3F8P5qvt5a3TcIqV5MWtCv9QO8UQ==[/tex]。可见[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中一切非零元都是可逆元。注意，[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是交换环，故[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个域。

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有单位元的交换环, 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个域[tex=2.071x1.0]bMRrINhuwlMbjrHDeWypolm63DRNVHJ9HbNYCM+Hi9g=[/tex]的理想只有[tex=1.5x1.357]NOCPYNtDvmDx0X9A9YTbEQ==[/tex] 和[tex=1.071x1.0]h9ILou3P7Mn69Kuw8fnq7w==[/tex]注本题有误. 这是因为: 当[tex=3.071x1.357]9A9nYK5hmRgtjsWJfPXzrw==[/tex] 时,[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的交换环,[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]不是一个域, 但[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想只有[tex=1.5x1.357]NOCPYNtDvmDx0X9A9YTbEQ==[/tex]和[tex=1.071x1.0]u45wpeE204qOexrycojF0Q==[/tex]应将本题改为“设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是至少含有两个元素的有单位元的交换环, 证明 : [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个域 [tex=2.071x1.0]bMRrINhuwlMbjrHDeWypolm63DRNVHJ9HbNYCM+Hi9g=[/tex]的理想只有[tex=1.5x1.357]NOCPYNtDvmDx0X9A9YTbEQ==[/tex]和[tex=1.5x1.429]kO0M/I6D9JzH6hOV0X2lqg==[/tex]下面就修改后的题目进行证明.
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设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的有限交换环. 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每一个素理想都是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的极大理想.
2
设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同构, 证明: [tex=1.571x1.429]WwcGTNxNgqKGUcObs50zWg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同构.
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设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个域,则 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的分式域就是自身.
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设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同态, 证明:[tex=2.929x1.357]7sm0+A17+tx/lVOuO5S85F70wS+QwHOEHbE76/O5U/A=[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.