对于实数下限拓扑空间[tex=1.0x1.214]eFHuwgrq23KLloaWb3OmTg==[/tex]，证明：[tex=1.0x1.214]eFHuwgrq23KLloaWb3OmTg==[/tex]不满足第二可数性公理。
举一反三
- 证明实数下限拓扑空间[tex=1.0x1.214]D5D0Y9P5e3bSjuDLBr9HCw==[/tex]是一个可分空间。（这也是一个不满足第二可数性公理的可分空间的例子。）
- 证明：对于实数下限拓扑空间[tex=1.0x1.286]7T1b02epV01AGcoSwdu4rw==[/tex]，有（1）[tex=1.0x1.286]7T1b02epV01AGcoSwdu4rw==[/tex]满足第一可数性公理；（2）[tex=1.0x1.286]7T1b02epV01AGcoSwdu4rw==[/tex]不满足第二可数性公理。
- 如果X满足[tex=1.0x1.214]uDLq1pltx8bidzPpXavtVw==[/tex]公理和[tex=1.0x1.214]HSZQQmMoQLPTE8orMMvtgA==[/tex]公理，则也满足[tex=1.0x1.214]9/dZqDJTFQ9zWNw2dnPh4g==[/tex]公理。
- 补足定理1、2、3中关于第一可数性公理情形的证明。定理1：设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]是两个拓扑空间，[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMot2th5ZD+6WQyP0q2fuQQ=[/tex]是一个满的连续开映射。如果[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)，则[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]也满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)。定理2：满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间。定理3：设[tex=6.071x1.214]6m6IpLK9nxKlloS9uQjB0qJni044ihmKs30/YJo0lk0=[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间，则积空间[tex=8.571x1.214]CkbBcgJrLNIwZHLDinyMQc2rREpGyL63UH9eLssnxMZ41jEsuFjVGRlxIHLZ5+Kx[/tex]沛满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)。
- 设[tex=8.5x1.929]nTauydNa/9hor+dUdkGtGr6Aa4itoLOkqG91lHF4mlrhlhCQ4y7XHc5z56BlkBou[/tex]，试用向量法证明：[tex=1.0x1.214]szVnMPaRHLo99rUmmmexUw==[/tex]，[tex=1.0x1.214]X/bsauxa6QmmbP44POFPqQ==[/tex]，[tex=1.0x1.214]P7fMLAGwTPdM4Jevx4bDBQ==[/tex]，[tex=1.0x1.214]PoyJ3+uGFQbi9jbKxD3PeQ==[/tex]四点共面的充分必要条件是存在不全为零的实数 [tex=6.071x1.357]zjWeXMFj1W4w7yE2HB4aQhp4gEJwnSFZeKqHZ6xEDeU=[/tex]，使得[p=align:center][tex=10.714x3.5]U1EOPkiTsvIFxNm0iHj7RPfuwABie5XuLDW9ItL0tpm2hfl90/HoxIfLvlgl0omGGWa2WPdp6hxUrFZjJMy7VkWIwCALUE7BI+DHEiYgtVDU21lH8++NxcWaYb2ks5H1[/tex]