补足定理1、2、3中关于第一可数性公理情形的证明。定理1：设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]是两个拓扑空间，[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMot2th5ZD+6WQyP0q2fuQQ=[/tex]是一个满的连续开映射。如果[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)，则[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]也满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)。定理2：满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间。定理3：设[tex=6.071x1.214]6m6IpLK9nxKlloS9uQjB0qJni044ihmKs30/YJo0lk0=[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间，则积空间[tex=8.571x1.214]CkbBcgJrLNIwZHLDinyMQc2rREpGyL63UH9eLssnxMZ41jEsuFjVGRlxIHLZ5+Kx[/tex]沛满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)。
举一反三
- 证明：对于实数下限拓扑空间[tex=1.0x1.286]7T1b02epV01AGcoSwdu4rw==[/tex]，有（1）[tex=1.0x1.286]7T1b02epV01AGcoSwdu4rw==[/tex]满足第一可数性公理；（2）[tex=1.0x1.286]7T1b02epV01AGcoSwdu4rw==[/tex]不满足第二可数性公理。
- 举例说明紧致空间可以不满足第一可数性公理(从而也不满足第二可数性公理)。
- 对于实数下限拓扑空间[tex=1.0x1.214]eFHuwgrq23KLloaWb3OmTg==[/tex]，证明：[tex=1.0x1.214]eFHuwgrq23KLloaWb3OmTg==[/tex]不满足第二可数性公理。
- 举例说明当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为拓扑空间，[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]为满足第一或第二可数性公理的空间时，映射空间[tex=1.429x1.214]lx1EVEoaliACZj5tTCXYcQ==[/tex](紧致收敛的拓扑)可以不具有同一性质。
- 证明：每一满足第二可数性公理的正则空间都是完全正现空间。