试明定理[tex=1.571x1.0]NRAZSenLCh2cmqvlDAuLxg==[/tex]注定理[tex=1.286x1.0]kKCBHQIleWbqLYAAphuK9A==[/tex]如下:设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.(1)若[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想, 则[tex=8.857x1.571]q5W7VvnThRiSAS3Jbiihlk4nznYZovknm27R+wDzbUgy/KB6cLlcqo+RB7WV6+Pt[/tex](2)若[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想,且 [tex=2.357x1.143]hmtyi/PG7j28PFV8+4H81GFH4NHJ9jPZRtfqR3pyO4Q=[/tex], 则 [tex=8.929x1.357]KPfO9KqaoHTPeQJw4n6XBnR8/jev71ZZLhkMVIqcifOI40+aHe2jmxFdBV/vadrB[/tex]

2022-05-27

试明定理[tex=1.571x1.0]NRAZSenLCh2cmqvlDAuLxg==[/tex]注定理[tex=1.286x1.0]kKCBHQIleWbqLYAAphuK9A==[/tex]如下:设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.(1)若[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想, 则[tex=8.857x1.571]q5W7VvnThRiSAS3Jbiihlk4nznYZovknm27R+wDzbUgy/KB6cLlcqo+RB7WV6+Pt[/tex](2)若[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想,且 [tex=2.357x1.143]hmtyi/PG7j28PFV8+4H81GFH4NHJ9jPZRtfqR3pyO4Q=[/tex], 则 [tex=8.929x1.357]KPfO9KqaoHTPeQJw4n6XBnR8/jev71ZZLhkMVIqcifOI40+aHe2jmxFdBV/vadrB[/tex]

答案：

证明(1) 令[tex=7.071x1.357]WPvoS2108awYgxkG0fArBhXZAL9su+CA6MaxjqEFqqM=[/tex]根据第一章中的定理 [tex=3.071x1.357]H11eVX3nXH69woe7Wl9LFQ==[/tex]及其证明, [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是加群[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]到加群[tex=3.714x1.357]dN6JpPn6w6INqQ934jBq/FrwAbU4wZWmKogeK6nebds=[/tex]的满同态,并且[tex=6.071x1.357]7sm0+A17+tx/lVOuO5S85IgVfPYYmchcCAwA5IQgTDGhZKxPGuU8bZSP++v5bBZc[/tex]此外,, 还有[tex=19.071x1.357]CoCM/XDU7QVL8fMx+pxlOV0CjAKb6Cq8a3ufl+nRp1VqHrXBf4Z0UCxkYkhgJIbbTrUr7qsyibwZf1DhgHUKmqXVxsePZYnqGap5p4W7g5k=[/tex]所以[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是环[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]到加环[tex=3.143x1.357]htqU2HcIKsFti1Mm+Q415g==[/tex]的满同态, 并且[tex=6.071x1.357]7sm0+A17+tx/lVOuO5S85IgVfPYYmchcCAwA5IQgTDGhZKxPGuU8bZSP++v5bBZc[/tex] 这样一来, 根据环的同态基本定理, 在环的同构的意义下, [tex=9.357x1.571]cOrhNpIV93NydAEp7CrVc2Y21OK0kY7GXfd2QiObJm+G8SVMQXKudxTU8IlX/r+R[/tex].(2) 令[tex=8.643x1.357]U5wigaV/TklvAs4K/KDZ117Y/d9B/KukR2g8+cXRBG4DGzvEJBrithHzaSBjthHW[/tex]根据第一章中的定理[tex=3.071x1.357]t/WfWk19YZIWswyza5+UdA==[/tex]及其证明, [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是加群[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]到加群[tex=1.857x1.357]nYlfe219xnn8hY8pwLNf9w==[/tex]的满同态, 并且[tex=5.5x1.357]7sm0+A17+tx/lVOuO5S85K5qpEI4f5K4a3sSe4XxyGo=[/tex]此外, 还有[tex=17.786x3.071]rZM5/OPAdr7aX+kNl9iwpL/SCqHvrMvyOcvmD8ScHY7zjfGDrypGyS8uxHnmuXjcr6vMPKImYtdS5DTrF+0oKr197uz+gNfJDBREP7LVHeuUGFxsq3nIOEfxtiQxYb5mdAgs+eQqqq5OwY/yqu/jFQdzjCaYNWrHxP+Tzly91oA=[/tex]所以[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是环[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]到环[tex=1.857x1.357]nYlfe219xnn8hY8pwLNf9w==[/tex]的满同态, 并且[tex=5.5x1.357]7sm0+A17+tx/lVOuO5S85K5qpEI4f5K4a3sSe4XxyGo=[/tex]这样一来, 根据环的同态基本定理,在环的同构的意义下,[tex=8.929x1.571]xZkJjkLbh5pfiYJNkGsaBUJINgozD4gthC/Cp0uqHQ/yvogR9xKl+54chhCbqZda[/tex]

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的交换环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的真理想. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每个不在 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 中的元素都可逆, 则 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的唯一的极大理想.
1
设[tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想, 假设[tex=3.357x1.143]GNaN58NEBLI/RNACEeIr9Q==[/tex]且[tex=4.429x1.357]BhYJIYUqbV7rh27v3GsZSprXnk5rSNzS1PUnUJNSjYw=[/tex](此时称[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]和[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]的内直和 ),证明: [tex=4.5x1.571]KfJOO3z2/XNC6y050WO8wtXxdA91le8WQn0kCaAia08=[/tex]
2
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为环， [tex=1.786x1.214]6tfK8Xu5VII5Cof0ldCDJw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的两个理想，则 [tex=2.071x1.143]FGBbsKfBrmsAUpq686lM7Q==[/tex] 也是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, 且[tex=13.071x1.571]XuAP5pRnpiOzK6W1JU+4iGIcUJwy+lBPPYAw+otff+OMazqOwTbIAA1mh7Znww+F[/tex]。
3
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有单位元的环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个真理想, 证明:存在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的极大理想 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]使 [tex=2.786x1.143]/AskU05rJFzE+CohvFDboA==[/tex].
4
证明 (环的第三同构定理): 设 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 与 [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 都是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, [tex=2.643x1.214]weJ7EFJeoEDwaNi55lBhDWyUgroyKz4dUujyK1YGdDs=[/tex] 则 [tex=1.5x1.357]DQDKvU4BxJ/UC33T+mY9sw==[/tex] 是 [tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex] 的理想, 且有环同构[tex=8.5x1.571]NlFWWtGmFDcweimJielFSbfyOtOTDyU+GZtxeBhtLTMtYJ0/slMpDMLneEb5R6A7[/tex]