一个半球体状的雪堆,其体积 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 融化的速率与半球体面积 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 成正比, 比例常数 [tex=2.143x1.071]nSKfvzmrpwye+AATQGVR/w==[/tex] 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为 [tex=0.857x1.0]BUPyZMEf+OGbJ82fz6ngkw==[/tex] 的雪堆在开始融化的 3 小时内,融化了其体积的 [tex=0.786x2.357]gVKdExgxpwHXSPb04INpYA==[/tex]，问雪堆全部融化需要多少小时?

2022-05-27

一个半球体状的雪堆,其体积 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 融化的速率与半球体面积 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 成正比, 比例常数 [tex=2.143x1.071]nSKfvzmrpwye+AATQGVR/w==[/tex] 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为 [tex=0.857x1.0]BUPyZMEf+OGbJ82fz6ngkw==[/tex] 的雪堆在开始融化的 3 小时内,融化了其体积的 [tex=0.786x2.357]gVKdExgxpwHXSPb04INpYA==[/tex]，问雪堆全部融化需要多少小时?

答案：

解：法1：由题设得 [tex=4.214x2.429]mIjF+YCv2rkOkkeQ3vgiUPPCcDmLXF3FrGx/RrPYHeI=[/tex]，其中 [tex=1.786x1.357]y9gg2YW5GB7OjjkfXocNyQ==[/tex] 是 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex] 时刻的雪堆体积,负号表示体积在减少. 由于 [tex=7.5x2.357]Pq0jvi8eTH0iBqmtSVSYYMzOB8SLqcerulL1EozKG/iR0DKsDBI1uuOv0kiDMylk[/tex]，所以可得到微分方程 [tex=7.286x2.857]mIjF+YCv2rkOkkeQ3vgiUKFIzfItdGkqs9NQVtZViAeeZ5GdTgYzX2sk85prtBcn/MvwINKHOaZEHiPlNisO2g==[/tex]，这是变量可分离方程, 容易解得 [tex=9.714x3.571]88X7CQDUW2urmcwD7hgcUsVLkSl8zb+iJmY8pUiBTW/EfpoNztX3FFY5eCTXcmVXKKo8GUj3/4ESBfImPTh98w==[/tex]，得到 [tex=8.929x2.857]8UAuDt6EfSY+G+D1LWazYBnETpOBYTGMpVOVj38fmG8EKWbJGZ44Lr0mqO5dOuKu0sSMb3HaVHAYsc5u3MPXeHfxGh+XihnYKEvEv06994E=[/tex] 故 [tex=8.214x2.929]14g9E3zMvOGu2j5/a+CGpNr+8wSLsTcFpYzR9f6UEQSSXdd3OzxY4k3IA/EcyHLr[/tex]。所以当 [tex=1.643x1.0]iEpv4kkc/9jk9gOLZZdF7A==[/tex] 时, [tex=3.143x1.357]H9l/pNYbiYqb/4zhpkfdnw==[/tex], 即雪堆全部融化需要 6 小时.法2：由 [tex=4.214x2.357]Pq0jvi8eTH0iBqmtSVSYYFbR7TTsgPXkljeoJGjZ0gU=[/tex] 得到 [tex=5.643x2.429]mIjF+YCv2rkOkkeQ3vgiUGHmQg3npCSDAKGMXEQWKJT1RlEH17Cjrd9xpPjACUX/z8MxEo//9Nw3y0pBsIWBJw==[/tex]，而 [tex=12.0x2.429]PgwSzN8Tll9zEcTWbupBvdECiDNJ+ShjXLXFoDQtNbfZl6ZCo2iyOypKffSlCeOGGKXuu0bOD4NnhlT/ipSmEg==[/tex]，所以有 [tex=3.5x2.429]xVWbHliLkjHhTZITLFr8mmNQfLau2fLzI7U4otOxQnU=[/tex]，解得 [tex=5.571x1.357]47mwfGoLs9qFd82CN+qDUw==[/tex]。由题意 [tex=3.643x1.357]NencSr8UBevMkFeEDJMGvA==[/tex] 得 [tex=2.571x1.214]ovEqD1255BaTWZeyD0KRpw==[/tex] 再由题意 [tex=5.857x2.357]m9XgCrfWtPBLpLhy/V/1YThTRd0oWe0FjwkUFoVcsj8=[/tex] 得到 [tex=4.929x2.357]Mh2BDwK2lYu4FTiBoYAzItJ8tK77ME774mDdZm9iCbhVIPQ+fkWyjObUUggkmUIC[/tex], 即 [tex=4.714x2.357]W1+Bldfc37ClIPE2suJJU/FdFY7RbVgdiGT9SQxrTR4=[/tex] 从而得到 [tex=3.5x2.357]6J597dleVtKWGeplEh5g6OmmTTrcychhDyIIjetH2jI=[/tex] 所以 [tex=7.571x2.786]1hfzk5s1YGNh/xSepBowCVh9n9PlmGgADQL1tqbH3fCebWYNAn38Ym1QZgA8+JrM[/tex]，由于 [tex=3.071x1.357]jF6GtyghKsIDfzJuv4S4gg==[/tex], 故雪堆全部融化需要 6 小时.

举一反三

内容

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令[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一些线性变换所成的集合。[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换之下不变，那么就说 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。说[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是不可约的，如果[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中没有非平凡的不变子空间。设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]不可约，而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个线性变换，它与[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换可交换。证明，[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换，或者是可逆变换。 [ 提示 : 令 [tex=5.0x1.357]o2+7Gdi3IvIUF7x5ByZZytJ/TK5JsUQ7dq1ESJYAz0s=[/tex]，证明[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。
1
在半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的球中内接一圆柱，试将圆柱的体积[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]和表面积[tex=0.643x1.0]VuDqnB7C7a0HJjCNT6LA5A==[/tex]（包括上、下底和侧面积）表示为其底半径[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]的函数。
2
在底半径为[tex=0.786x1.0]59uVln8a2zRyv0n5hgPyQg==[/tex],高为[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的圆锥体上,有一个同底同半径的半球.试确定[tex=0.786x1.0]59uVln8a2zRyv0n5hgPyQg==[/tex] 与 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的关系,使圆锥体与半球体构成的立体的重心落在球体上.
3
设有半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的球体， [tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex] 是此球体表面上的一个定点. 若球体上任一点的密度 [tex=0.643x1.0]hK6dRoCn+OGpoJ7dSqNW4g==[/tex] 与该点到 [tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex]距离的平方成正比（比例系数 [tex=2.357x1.071]4T26yXsA0w27cxlSaZXu7w==[/tex] )，求球体重心的位置.[img=197x199]1793ca5e9c6ff83.png[/img]
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求复数域上线性空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的线性变换[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]的特征值与特征向量, 设[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一个基下的矩阵是：[tex=6.214x2.786]3BT1BgBZQ5uJXxD5dg+w29wlCih+1lhpjAuwkpfyi8StndXPsLnn4tlIVuXhjahBrIGFeDZN131CPy4AyBjcEA==[/tex].