一个半球体状的雪堆,其体积 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 融化的速度与半球体的面积 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 成正比, 比例系数 [tex=2.714x1.071]v+ew1xQSHgQivWIJ0//OcQ==[/tex], 假设在融化的过程中雪堆始终保持半球体. 已知半径 [tex=1.0x1.214]01DdVOqrf+V9MNc+YXferA==[/tex] 的雪堆开始融化, 3小时后融化了其体积的[tex=0.786x2.357]gVKdExgxpwHXSPb04INpYA==[/tex]，问雪堆全部融化需要多少时间?

2022-05-27

一个半球体状的雪堆,其体积 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 融化的速度与半球体的面积 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 成正比, 比例系数 [tex=2.714x1.071]v+ew1xQSHgQivWIJ0//OcQ==[/tex], 假设在融化的过程中雪堆始终保持半球体. 已知半径 [tex=1.0x1.214]01DdVOqrf+V9MNc+YXferA==[/tex] 的雪堆开始融化, 3小时后融化了其体积的[tex=0.786x2.357]gVKdExgxpwHXSPb04INpYA==[/tex]，问雪堆全部融化需要多少时间?

答案：

雪堆融化的速度 [tex=12.714x2.429]eHmJ6WkcVxLNZ4Gfz3qUfllcDzNbPabZJHCARb1nNWdP2nqqh8fEtpZtiHTXIwlaHx2UX/4RTu9y+DGEo7aYYEa4KTqZSxB9aDdpcB0OBhA0ar3dIGpW5oYCdBejCrhi[/tex], 而 [tex=5.714x2.429]eHmJ6WkcVxLNZ4Gfz3qUfllcDzNbPabZJHCARb1nNWcn+e6bPwHE6qSD88GiwOLQ7hGfkesi/jWNI+DgPoMwRKfb0mDbKav+6etdA5yZYy21oHUE+omm4bITNybFf5k3[/tex], 故得[tex=7.857x2.429]mnvsXjOk5M+qNkfXV8PxaOMGCMshZ9/cTcss2BnLmOESC2Gh+SqG8CYMiYhYRMgE45t202HA8vKZMwxxM6DOnQ==[/tex],即   [tex=10.0x2.786]c8gX0O6CKBpyqTBZ2fB4DnMmYx3E9dzBkqE2Hu/0KDddzYFntWk6dLCsFmQnvOAUFuIAvhSiPCdFlIZ7lWOII+Oe04m4KBUqZ5BYia7Sb10=[/tex].当 [tex=5.429x1.357]pGlnB28FxZ0u78itp5YPlHH9P+XbxLfF6hLMFDWWDTQ=[/tex], 得 [tex=6.786x1.214]U9GChT1bHcevgRhkVv8itR8RxtiFvA7f02PdBLLwRdI=[/tex], 由条件 [tex=14.786x2.357]m9XgCrfWtPBLpLhy/V/1Yeydcq9CdLuM1DrgR/jTR5+5FJLf3Xw3teGuYANFNZ/qN/vhL6Bhqd+vqJwSaI+dU0Qkc6BaomAsgDo3QZby41E1Y24nWnFiK4OStd8ViuEUJpyhSxdabLCvzFpPaUR4Fw==[/tex], 得 [tex=6.929x2.357]W1+Bldfc37ClIPE2suJJUwtDFjpqswci3yauYUGdqzU=[/tex], 于是 [tex=3.571x2.357]pyaqUDqHXTcyvmOpal2OtIiF/H67ePZah9HC2uyteco=[/tex], 故[tex=12.143x2.786]4ti5mCNZ6uOhWQezreoKmk8pFyMgRqhCmJZGNb5T9HKW1CYKjjpWOgQTUWgacDDFhJXcW27+SyjEKrfCc5x4BQWegx7Po7PiWuCOX44q68w=[/tex],当 [tex=1.643x1.0]iEpv4kkc/9jk9gOLZZdF7A==[/tex] 时, [tex=3.071x1.357]jF6GtyghKsIDfzJuv4S4gg==[/tex], 即全部融化需要 6 小时.

举一反三

内容

0
令[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一些线性变换所成的集合。[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换之下不变，那么就说 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。说[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是不可约的，如果[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中没有非平凡的不变子空间。设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]不可约，而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个线性变换，它与[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换可交换。证明，[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换，或者是可逆变换。 [ 提示 : 令 [tex=5.0x1.357]o2+7Gdi3IvIUF7x5ByZZytJ/TK5JsUQ7dq1ESJYAz0s=[/tex]，证明[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。
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设有半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的球体， [tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex] 是此球体表面上的一个定点. 若球体上任一点的密度 [tex=0.643x1.0]hK6dRoCn+OGpoJ7dSqNW4g==[/tex] 与该点到 [tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex]距离的平方成正比（比例系数 [tex=2.357x1.071]4T26yXsA0w27cxlSaZXu7w==[/tex] )，求球体重心的位置.[img=197x199]1793ca5e9c6ff83.png[/img]
2
设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵组成的线性空间, 令 [tex=14.071x1.357]526RfeuoVuYFKMeevCzg3ALQwrIMoLSjnd4jNqAgq3b0SbOJw1J3W132MAq3sEvgFgMY+RJMUHzLRJJVfTrs8Q==[/tex] 是第 [tex=1.857x1.357]DPfV/kz2+j7DkAnudNw66w==[/tex] 元素为 1 、其余元素为 0 的 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 求证: 全体 [tex=1.286x1.286]TpiThXZs62EvtJGFwo2zsw==[/tex] 组成了 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一组基, 因而 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=1.5x0.786]uDlrM/k6mXUKzRmRUTQRAw==[/tex] 维线性空间.
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在半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的球中内接一圆柱，试将圆柱的体积[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]和表面积[tex=0.643x1.0]VuDqnB7C7a0HJjCNT6LA5A==[/tex]（包括上、下底和侧面积）表示为其底半径[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]的函数。
4
根据下列两种情况，建立肿瘤增长的数学模型并求解. 设肿瘤体积增长率正比于 [tex=1.143x1.214]8QeHgh7AWqn7z4ttCF+zaQ==[/tex], 其中 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]是肿瘤的体积, [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 是常数. 开始时,肿瘤的体积是 [tex=1.0x1.214]HxAUtn6LkENeXQp2sYG8Uw==[/tex] . 当[tex=2.143x2.357]dwToyMFYFltFhLmAUmPEFg==[/tex] 及[tex=1.714x1.0]TshynV80bHKC1OeUzlqMEQ==[/tex]时,求肿瘤体积 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的变化率. 用 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex] 表示. 若 [tex=1.714x1.0]/VYz8Y4gTr+R9IrB4bHWCQ==[/tex],肿瘤体积增大一倍需多长时间?