举一反三
- 证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是交换整环，但不是域，证明[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]不是主理想整环。
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元（用[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]表示）的环，[tex=3.143x1.214]jaZMaos6zVCOKtLo+H9F+w==[/tex]证明：如果 [tex=2.286x1.143]6XLDFpbGC81VG9rXBUGstg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中有逆元，则[tex=2.286x1.143]oXBfnhsYpkpRkDchPfN9Jg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中也有逆元.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=3.143x1.357]BwybrwuFYErsCAQCXkFyKQ==[/tex] 的环, 证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中的可逆元不可能是零因子.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的环. 证明: 环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的可逆元全体 [tex=2.286x1.357]VSrq2EBbjY/lzOCsf2jcIg==[/tex] 关于环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的乘法构成群.
内容
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设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是整环, 证明: [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是整环, 且若[tex=8.714x1.357]oVr3Dwq4mCJpVeSnaB2gBav6gzXX+4IxyzkrLDKnpT4ofCdHisdPAVuC8sqanZWC[/tex], 则[tex=16.5x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83y9aNKwSst378OWInw7DpxyGmQvFvzv47TsWEB5CANufqeVJfC5Y+JfjLUHVVTF8QBv5sk3NVPESDFkfmPLVHWl2szY4MP7dPrINkk8Lxn2x[/tex]
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设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是交换整环，[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的分式域，[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一元多项式环，证 明[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上的一元多项式环且[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]与[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]有相同的分式域。
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设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是有单位元环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中的一个可逆元，证明[tex=1.357x1.071]8yCwfz9DDtEtAlvOBd+Hzg==[/tex] 也是可逆元， 且 [tex=6.071x1.5]oiuwd+L46nf4K9wnrs8yJpYIcX6RhmujF1kSw3uHa1c=[/tex]。
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假定 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是模 7 的剩余类环，在 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 里把乘积[tex=13.5x1.571]1mozSZPmTDk0iZAfoGbSXnOelqTN0/dkYhjcU65OdFp1ann7b44m9v7d3WfJanWB51HbTxs3hwJeYJ5JgYjybafXVKfcHeBaMrNZWSFEF0c=[/tex]计算出来.
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设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元的环. 如果[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=1.286x1.214]rkgrF+YaaESwSQDjR6KfWg==[/tex]有[tex=2.286x1.0]rZ0c/DqUwOwC6KLNVAW7uQ==[/tex]，则称 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的一个右逆元，而称[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]的一个左逆元. 证明卡普兰斯基(L Kaplansky) 定理：若[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]有多于一个的右逆元，则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]必有无限多个右逆元.