设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 的环, [tex=3.143x1.214]jaZMaos6zVCOKtLo+H9F+w==[/tex] 证明: 如果 [tex=2.214x1.143]slu224WKP2NMGi0SG1x36Q==[/tex] 可逆, 则 [tex=2.214x1.143]7ETOFDf7M7Dc343wjMscNw==[/tex] 也可逆.

2022-05-28

设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 的环, [tex=3.143x1.214]jaZMaos6zVCOKtLo+H9F+w==[/tex] 证明: 如果 [tex=2.214x1.143]slu224WKP2NMGi0SG1x36Q==[/tex] 可逆, 则 [tex=2.214x1.143]7ETOFDf7M7Dc343wjMscNw==[/tex] 也可逆.

答案：

证明 设[tex=6.0x1.5]vmP8XNmBGqobMTTtAUa5YNFC1Luqco9DYjuxIbfIxhg=[/tex] 则[tex=9.214x1.357]7dwPr3qVT4BUD2sncenYGIiC6K2x9yuhgftof7hUdrI=[/tex]        [tex=8.286x2.929]rZM5/OPAdr7aX+kNl9iwpGZOqilJsvcVpwOTXx3YE8OCMJuwOPBZdk2aATbvdQsdnboMa5rtS2v29VAWjfUbC9SxqSypp4pD8hX64emg0Eg=[/tex]从而[tex=8.643x1.357]WKoL3RAZjC6VtrvhtOu1E3pO0mntXxVTodG4C3jcOA4=[/tex]又因为[tex=16.143x1.357]XbRusuBplogy6hvC0zH8XxgpKe8JEzlqg6ml0LdA6O/4NQziUyqZYR6x7W/WCyd+[/tex]                        [tex=9.857x2.929]rZM5/OPAdr7aX+kNl9iwpF1PnU6cUvEE4igMLFKNyxz/ltlJD2HLcJjI1zg5+aX/1sRw9SBKAQ9Hf6cipO7jlz9QE9b7H2i+05h5d2hKMRw=[/tex]所以 [tex=2.214x1.143]7ETOFDf7M7Dc343wjMscNw==[/tex]可逆, 且[tex=16.214x1.5]Eo7qqoJV4rFfN7PJJdmGleHOi9SFo44FC219d1+3CEtGZFGt7jSpUPcb3IVHHAjc[/tex]

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]的环. 证明: 对任何的 [tex=2.286x1.214]wNjZ9g8W9xVWnCAntk7g6A==[/tex] 有 [tex=6.214x1.357]ENsIm4OgcFcso3JltmHgo83et/uQbS3xDuQSq3CNHlk=[/tex]
1
证明设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]的环, 则映射[p=align:center][tex=5.143x1.214]4huI4vPuOC5DwSwh9v+pqmZ8zIR4uMpqJJGCJdNZD5284UHYZUBluqcDPeiVBFsU[/tex][p=align:center][tex=3.857x0.786]xjKJOk7jgWMso5Sqhr+k7m3CrOAppVSxOnlWEawUee8=[/tex]是环 [tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 到 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同态.
2
设环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]有单位元[tex=0.429x1.357]ljx4OiPNKel/qklZEW5k2A==[/tex]用[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]表示[tex=0.643x1.286]FnhFrN9oO7CZh9W5AkR0zQ==[/tex]又[tex=3.143x1.214]jaZMaos6zVCOKtLo+H9F+w==[/tex]证明：如果[tex=3.5x1.143]Fik258M4ECQmxbviDiMiew==[/tex]且 [tex=1.857x1.143]4WPfFx57ZNON7NcLT4Yb3w==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中有逆元，则[tex=3.0x1.0]cLq7etbzBnS290w+TLxPqA==[/tex]
3
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]且有单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 的无零因子环. 证明: 如[tex=2.5x1.214]dwurLnqTQWbDRJSHmVe0Ng==[/tex] 则 [tex=3.071x1.0]gLPFw7bUgh1Ytn+6QaarRQ==[/tex]
4
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个环, [tex=2.286x1.071]BX5Hq24pv20xx1ImfWhlnQ==[/tex] 如果存在 [tex=2.5x1.214]MUBOqhgSidNbIiPGutca8TrElVNegsU2eDrOYBfzzXU=[/tex] 使 [tex=2.571x1.214]vISNIN/rFHRC9rdtmDdjoQ==[/tex] 则称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个幂零元(nilpotent element).(1) 试求 [tex=1.429x1.214]jBC5UhniB1q3BXBWtSyFOc2/wXu1a7+esOF5m9BzKww=[/tex] 的所有幂零元;(2) 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 的交换环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个幕零元, 则 [tex=1.857x1.071]TckY1UXsKGQ9dh30ORCSzg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个可逆元;(3) 证明: 交换环的幂零元全体构成一个子环.