举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个环, [tex=2.286x1.071]BX5Hq24pv20xx1ImfWhlnQ==[/tex] 如果存在 [tex=2.5x1.214]MUBOqhgSidNbIiPGutca8TrElVNegsU2eDrOYBfzzXU=[/tex] 使 [tex=2.571x1.214]vISNIN/rFHRC9rdtmDdjoQ==[/tex] 则称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个幂零元(nilpotent element).(1) 试求 [tex=1.429x1.214]jBC5UhniB1q3BXBWtSyFOc2/wXu1a7+esOF5m9BzKww=[/tex] 的所有幂零元;(2) 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 的交换环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个幕零元, 则 [tex=1.857x1.071]TckY1UXsKGQ9dh30ORCSzg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个可逆元;(3) 证明: 交换环的幂零元全体构成一个子环.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的交换环, [tex=2.286x1.071]BX5Hq24pv20xx1ImfWhlnQ==[/tex]证明: [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是单位当且仅当 [tex=3.143x1.357]UMu6yZaqu6lAbCVsfR7R0AeXbqkMKrtmkRynShNa3mw=[/tex]
- 设环[tex=3.5x1.286]9nlEIvQxLeNuWoevFsUZE039BKqeYdh1Ja/Kg/QP+Hk=[/tex]有左单位元 [tex=0.786x0.786]smkeai0+myg9f5pS0Q47qg==[/tex]证明：如果[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]无右零因子，则 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位元.
- 证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 的环, [tex=3.143x1.214]jaZMaos6zVCOKtLo+H9F+w==[/tex] 证明: 如果 [tex=2.214x1.143]slu224WKP2NMGi0SG1x36Q==[/tex] 可逆, 则 [tex=2.214x1.143]7ETOFDf7M7Dc343wjMscNw==[/tex] 也可逆.
内容
- 0
证明 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]的环, 则映射[p=align:center][tex=5.143x1.214]4huI4vPuOC5DwSwh9v+pqmZ8zIR4uMpqJJGCJdNZD5284UHYZUBluqcDPeiVBFsU[/tex][p=align:center][tex=3.857x0.786]xjKJOk7jgWMso5Sqhr+k7m3CrOAppVSxOnlWEawUee8=[/tex]是环 [tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 到 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同态.
- 1
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]的环. 证明: 对任何的 [tex=2.286x1.214]wNjZ9g8W9xVWnCAntk7g6A==[/tex] 有 [tex=6.214x1.357]ENsIm4OgcFcso3JltmHgo83et/uQbS3xDuQSq3CNHlk=[/tex]
- 2
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有单位元的环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个真理想, 证明:存在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的极大理想 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]使 [tex=2.786x1.143]/AskU05rJFzE+CohvFDboA==[/tex].
- 3
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元的环. 如果[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=1.286x1.214]rkgrF+YaaESwSQDjR6KfWg==[/tex]有[tex=2.286x1.0]rZ0c/DqUwOwC6KLNVAW7uQ==[/tex]，则称 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的一个右逆元，而称[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]的一个左逆元. 证明卡普兰斯基(L Kaplansky) 定理：若[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]有多于一个的右逆元，则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]必有无限多个右逆元.
- 4
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的交换环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的真理想. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每个不在 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 中的元素都可逆, 则 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的唯一的极大理想.