已知 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有理数环,[tex=11.429x2.214]lOok9ubivJfTV/4TXzs54zfWLCC1o65BHAxES3/Lr/Xw02F3HnOUsZVQOAMVrVy2w0vU0O5ACYNdPVxEk+8i+YQMaESm6RU0oaFrHBvDoWw=[/tex] 其中 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]是素数.试证 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环.[br][/br]
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是偶数环， [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 是素数， [tex=1.786x1.357]CKV1ALvFVhxcb15e70XQsg==[/tex] 是不是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的极大理想?是不是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的素理想?
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子的环,[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环, 且 [tex=3.286x1.357]Pd1PDhcqZGZ+SPuTqEqZBQ==[/tex] 证明: 当 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 有单位元时, [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 的单位元就是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元.
- 试证整环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中含幺元[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]的最小子环必与[tex=1.071x1.286]DZ7X6Hat4w0CSAjsS6ByJA==[/tex]([tex=0.571x1.0]+NxxLnTh2HAHOCSSr6dlEg==[/tex]为素数)或 [tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]同构(前一情形称[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的特征为[tex=0.571x1.0]+NxxLnTh2HAHOCSSr6dlEg==[/tex]，后一情形称[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的特征为0)。
- 设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的子环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, 且[tex=2.714x1.143]qeVx/WneqT6AKFTmS1fp3aWUSBO9UpECh2/YR23omjA=[/tex] 证明:(1) [tex=1.571x1.357]Fm8Px+trZ6+uWLyh/NKRGQ==[/tex] 是 [tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex] 的子环;(2) 如果 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, 则 [tex=1.571x1.357]Fm8Px+trZ6+uWLyh/NKRGQ==[/tex] 是 [tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex] 的理想. [p=align:center][br][/br]
- 证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;