证明：实系数多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]可表为两个实系数多项式的平方和的充分必要条件是对任何的实数 [tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex] 都有[tex=3.929x1.357]dxpzZeugwcyGH7ilNz1FuA==[/tex]
举一反三
- 证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是实系数首一多项式且无实数根, 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以表示为两 个实系数多项式的平方和.
- 证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].
- 设非零的实系数多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex](即系数都是实数的多项式)满足[tex=6.286x1.5]kUAwGDc6fP/9rXEVgtqko1RVeHa8UUSRXwYBAhKTquQ=[/tex]，其中[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]是给定的正整数，求多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 。
- 证明，复系数多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]对所有实数[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]恒取正值的充分必要条件是，存在没有实数根的复系数多项式[tex=2.071x1.357]Wcz3USjhGhKpAyRt+u5BdA==[/tex]，使得[tex=5.571x1.5]kogLvazdrPaKDcvKNNmSywufy0bB8/FVXGfVnfIjMYs=[/tex]。