证明：实系数多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]可表为两个实系数多项式的平方和的充分必要条件是对任何的实数 [tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex] 都有[tex=3.929x1.357]dxpzZeugwcyGH7ilNz1FuA==[/tex]

2022-07-23

证明：实系数多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]可表为两个实系数多项式的平方和的充分必要条件是对任何的实数 [tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex] 都有[tex=3.929x1.357]dxpzZeugwcyGH7ilNz1FuA==[/tex]

答案：

证明：必要性显然.下证充分性设[tex=29.714x1.786]qC5OS9J539+nZeofcKbFdKbjkFQz5khvr+ILf0Fo7PYJ9nVTZzby0Vv/nz74aVLK2MiWmj5yFQPlei+g+PGsT11bSrGuSBwcAQVYJK0MhEfIjZEj2pPickhGP+p57AiHsorpIAqBZ4pY/c/Jb3H2wfdjd+MZr98bCd2xBNN92KiHo16cmyMFS4eFGP/fHDxUTQuuZ15XYpE42gdpHxdvb3qN2idXm9suPcNfKPYxskG6XHJvcTx/7g8/IlVgegdt[/tex],这里 [tex=18.5x1.5]nKzzO5N++BH3MHJBIhWfkfFf/dSL2PrAUmROwaULedAaegxrHZFZLSh537lcBIMLXtD19DoJyirR/VsuzkLIRe1z6uRGEQjS0JgomvhlB6M=[/tex] 由条件知, [tex=2.286x1.071]dIn6Fdkzkr+5rjIy4Lq1xA==[/tex].任取 [tex=1.143x1.214]hR/Q1S2VcjBI+lXzDatCRQ==[/tex]使 [tex=12.286x1.214]6sFumSbONX5dCAbjJbRuQeUpHq88/04GT++1fSEXk2QBBwG5eLj3d4zPXSOtmkEC[/tex] 则 [tex=1.714x1.357]6GTYhzmnTgdXYb7xz1/D/Q==[/tex] 的符号为 [tex=6.143x2.143]JurI796nF3ponkLe4oc6ZmWyyYwdhNclgMO/WX1YIaUyQZQgbDaW2d1tsecAaAHD[/tex]的符号为[tex=5.143x2.214]3UysCYnszmbUvdaO3E5CTp44nYjnlXozs49I3c92vN0=[/tex] 又因 [tex=6.857x1.357]0wOf0c2e30tAcbtNjp/uW76BHjq4vBOavN0yw12LHko=[/tex] 故[tex=4.286x2.143]6KXor7+YuzV6Yyga4KRB5hp99P5O17kuiXHS3csPps0=[/tex]是偶数, [tex=4.571x1.214]0B9S26bdp9tGGtraXbJpStwMn91rNd6WbELLpeCfNPI=[/tex] 从而[tex=19.643x1.786]8IROC07yPQaPxbXJsRLTaXIosm+46f+WT+k2l/PQJz488DvU7tFf/bLoa65F4cbNR+ReLjDERpaE59YoC8+Kb2dRIdHedDKAXTnbFU4dP6Z1epCMEOTo8jlKkeRtqYpRzeISz8cAizE2DenDV6K46w==[/tex]设[tex=15.643x1.5]cGSA0L7jgyg7AImw5KEWh2RWGIAXtjzjgL3pTofjkBXF5LtdM8UiMNtg4ESvJ+MS5z44knZXJjZ5QZPdZJNRinJHigP+0g8tqbhCjxPKbscG8pM6gQ4tU2UpmQbKZXdtlQ7ZE0aO3+RzfBJX1ijpLnRtQiTZWtkDpvxiq4UteVo=[/tex]则[tex=24.786x1.357]dexx0Qu+U0F9l4QmsTvUFy0a2KoGyLyqAuiQqRwrRoMBiviKxXsV8D81SSHFlKGi6Xh+zPO7j2k4gXomccxJ6Gml9vqwXH6GvFaTSVfX3C4L7Wc5us+BaBoBbE5sQO4K+9f1zdREfAX03MnRh9i2hypHQm/2rBo7+eLwr96ENvu4R1M3sUVtpFXP2J3imeIH[/tex],[tex=16.929x1.357]yXaxW1HannMuwkxMuB6QdXyq6IdVaivGKwuMawARtKzq1VsM35mvygD/jGflczkjvE9g3IfInm/6wESqe09rEKZSJaTxF3nyXZ8gZ79/Uhmxqfzt2Dayk+r25VzRmM4SiP4eKIXfrA8PQ53X1tuNHEC7+Y2sVKLPWZHxiLaeuXblXn4ypiEIiZDYzgAOAtun[/tex],从而[tex=23.286x4.357]c8gX0O6CKBpyqTBZ2fB4Dprbf0KDjHJnKP1uW67RoI+mCFrwgZytd00gcEmJj1lgrrBuIVfsP/m2rGeDkdohRk+CCkFXmt2kCEZHzzZChRxF0cHzYV0XFkSzyE3853cYtsURSMzFQB6BjyksZq7PpBtuw4yh85RgJcbgk8Ve2h6S1l8vRlZtnoSIp/PpU9S63abobu15qLlu2NKgASRoaeRSphSV4mWBeeLmEG3PmS/qzrkdwjN90jp4E8c29k4ZhXA4ThqbTsarojsp7cTjImP1VSPHMCkVZ2Df061cjsA=[/tex]

举一反三

内容

0
用量词来表示实变量[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]的实函数[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在其定义域中点[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]处的极限的定义。
1
证明：次数大于０且首项系数为１的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=4.214x1.357]9I4yFW6UBqLj0sNwQPISXQ==[/tex]，由[tex=6.429x1.357]+R1jMtRVS9GlP1JySUA042rLPoIBK7wxj5QpIcRaGxc=[/tex]可以推出[tex=4.0x1.357]ndiWZM+WuXGJrRPPGbGfKw==[/tex]，或者对某一正整数[tex=6.071x1.357]6SvEm+PSget3RuSA7KyXOiH7pksDCl/fUDOt2+ai0eM=[/tex]．
2
设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是实系数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次多项式，其中[tex=2.5x1.143]K+Swr2cA+8b62T1YU7nuOw==[/tex]。证明：如果[tex=3.429x1.357]5W4xTQrlz2YsNIZZqereQA==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根且有偶数对虚根；如果[tex=3.929x1.357]vxzECGGRprE9ImOPQXowww==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根且有奇数对虚根。
3
证明:次数 [tex=1.571x1.071]qH46Df5l2YhGU+w85yZX6Q==[/tex]且首项系数为 1 的多项式 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为,对任意的多项式[tex=1.857x1.357]uQafhAujpSLbF4Vj5vYNRQ==[/tex]必有[tex=6.643x1.357]Xwpaoo5DnaPc/Ov5LaJCSMCT1QKvyxE16rWLgeNJj18=[/tex]或者对某一正整数[tex=6.786x1.357]WLVodeZWTwo7cgr+pkGMbIzjBFRlcpYXJwY0QjPwPVw=[/tex]
4
7．证明：次数 > 0 且手项系数为 1 的多项式[tex=1.857x1.357]WfYZdY0XGZepXTh79jTk4A==[/tex]是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为：对任意的多项式[tex=1.857x1.357]w1iyrCYPGqaN4/TeE4p0pA==[/tex] 必有[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex]，或者对某一正整数 [tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex], [tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex]。