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  • 2022-06-17
    设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是实系数首一多项式且无实数根, 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以表示为两 个实系数多项式的平方和.
    • 证明 因为实系数多项式的虚根成对出现, 因此 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是偶数次多项式, 不妨设它的根为[tex=11.786x1.071]Uj+qKZ55OQq/gMCxGLbWFi61aB/FsXlePMtJ7hKXmyimtpWMwRV2Uk3sdf9+4EvtU109M46ehFk57f85NIDBT7tajUp75Nc2mqyDb3dyv3ZEa/KFT5USgTFqwmGe8zxw[/tex]令[tex=28.143x1.357]2InyxtUFw2bx31Slll32DRgNg/aWhp5cc3vm/4pCrcwJXftqLaaqBxtuLUwyO348Z/pzJRJkbdMhESsgUuHybrb1mRBNvQOjn4LYl1RjsVQ7eOmw+Kbzylru9hGZe4qQw4nwl73fa8PbEJEMWL1TFqZQFYbSLG+QAiS81DaZFLviQgwx7z47XxSyoIm1n7VFfk0HmLusTld0vmxaQbkEHAQXSA2OxL0i/HYB45KhUNw=[/tex]则 [tex=11.643x1.571]NH+lrQexg/gf72p2hmURLRSrb5o14r49KWV/2+0BHJ9c1aO54PagMWY14+j7p40B[/tex] 又将 [tex=4.071x1.357]jxvhZiY+yy3z8BpZfEQInA==[/tex] 的实部和虚部分开，可设[tex=15.571x1.357]WW1CBH/Hys7W06ApKpY9qKrreHHqZQ4PLKYkZJzaxKU88viKuydGYdu28G0ib0od[/tex]即有[tex=8.214x1.5]zvgodF/gzjzlIZszhCsjROsqJWoENRr9dAyu9XsxZhk=[/tex]
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    举一反三

    内容

    • 0

       求多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 使 [tex=10.357x1.357]1L5+0wGJKQDSl7CcBoVRtCBnE+zVLmNIKAtL5r1C3xc=[/tex] 这样的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是否可能是整系数多项式?

    • 1

      设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是次数大于令的多项式, 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 等于某个不可约多项式 的幂的充要条件是: 对任意非常数多项式 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex], 或者 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 互素, 或者 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以整除 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 的某个幂.

    • 2

      设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是一个次数大于零且首项系数为 1 的整系数多项式, 证明: 如果 [tex=1.786x1.357]7OQ6MnGIbo1txdlYbmL7wQ==[/tex] 与 [tex=1.786x1.357]jzGI6ryZy28xP+iLxVVAkA==[/tex] 都是奇数, 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 没有有理根.

    • 3

      设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是一个多项式,用[tex=1.857x1.429]idKr11bHOSzta0UYvTFwdw==[/tex]表示把[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明：若是[tex=1.929x1.357]cY572O/iQb24RFJ/GJrTow==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]和[tex=1.857x1.429]idKr11bHOSzta0UYvTFwdw==[/tex]的一个最大公因式,并且[tex=1.929x1.357]cY572O/iQb24RFJ/GJrTow==[/tex]的最高次项系数是1，那么[tex=1.929x1.357]cY572O/iQb24RFJ/GJrTow==[/tex]是一个实系数多项式.

    • 4

      设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是实系数三次多项式, 证明: 当 [tex=3.429x1.357]3LCq1/kx41lm0DJyPv60jQ==[/tex] 时, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]dcHR/AMhWBg4tOPVkI9qFw==[/tex] 中有重根, 并且 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]dcHR/AMhWBg4tOPVkI9qFw==[/tex] 中的根都是实数; 当 [tex=3.929x1.357]M3c1JMEQ3Z8PAHWcVJfAxg==[/tex] 时, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有三个互不相同的实根; 当 [tex=3.929x1.357]ahk8fXK8wopdzNwKn3PhwQ==[/tex] 时, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有一个实根, 一对共斩虚根.