设[tex=5.286x1.214]quOPtqfuRj8ozrQ+uV1MYv8JMGscBLYNG65/rG13OxY=[/tex]是线性空间[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的 [tex=0.5x0.786]91OkLAPJN0/k5IKcIh4ulA==[/tex]个非平凡的子空间，证明[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]中至少有一向量[tex=0.643x0.786]jdK/fyT0DcQyP00+kAkt9w==[/tex]不属于[tex=5.286x1.214]quOPtqfuRj8ozrQ+uV1MYv8JMGscBLYNG65/rG13OxY=[/tex] 中的任何一个。

2022-07-23

设[tex=5.286x1.214]quOPtqfuRj8ozrQ+uV1MYv8JMGscBLYNG65/rG13OxY=[/tex]是线性空间[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的 [tex=0.5x0.786]91OkLAPJN0/k5IKcIh4ulA==[/tex]个非平凡的子空间，证明[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]中至少有一向量[tex=0.643x0.786]jdK/fyT0DcQyP00+kAkt9w==[/tex]不属于[tex=5.286x1.214]quOPtqfuRj8ozrQ+uV1MYv8JMGscBLYNG65/rG13OxY=[/tex] 中的任何一个。

答案：

证 采用数学归纳法。当[tex=1.929x1.0]YqA0AqKkXzTPvfnUzLfy6g==[/tex]时，命题成立。现归纳假设命题对[tex=1.786x1.143]hv6uf3vwdQPgaFZDgNTCXQ==[/tex]个非平凡的子空间也成立，即在[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]中至少存在一个向量不属于[tex=6.143x1.214]quOPtqfuRj8ozrQ+uV1MYu/eoqjO5MxkYZMsU1X4/TG5aUcFYrvaJJ88N2ei3RRH[/tex]中任意一个，如果 [tex=2.5x1.214]Oy9TlEKOJT53m6H1Qddu4geFCKDLwAwkN6fOfosyi/I=[/tex] 则命题已证。若 [tex=3.071x1.214]51gWtXnKdN/WOM7ZBagNOgB1ui98r5YqqI9NYnFRJfg=[/tex]对[tex=2.714x1.214]SE/C0H6flGz9IfwEJzIS8v3yghjF29Uo+svj97ku0sY=[/tex]向量[tex=4.429x1.214]vmJNa6L+sW7x8FlYG4VJnVAPIWNHreO/g668fp9mkUBWJuUlVmnfrTry3qnZSL3Q[/tex]且对[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]中[tex=0.5x0.786]91OkLAPJN0/k5IKcIh4ulA==[/tex]不同的数[tex=5.357x1.214]qEra+4PDpKgpStLvFMbInbbctjrsV+1Us6iGm0bUuts3AycKZps47DbUzzIdw2Ag[/tex]对应的[tex=0.5x0.786]91OkLAPJN0/k5IKcIh4ulA==[/tex]个向量[tex=8.214x1.357]vmJNa6L+sW7x8FlYG4VJndnc9Fu0Q/wpGskPgJjuJCf+JHeUaZKV/IKPjMIOccRT[/tex]中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间[tex=8.071x1.357]OSiHwlHozNocmjFHIEoLoOzJ/uoHkgd68KMb8QMIrMQ=[/tex]换句话说，上述[tex=0.643x1.0]hIl//C5W/po4li6w3O8MtA==[/tex]个向量[tex=8.214x1.357]vmJNa6L+sW7x8FlYG4VJndnc9Fu0Q/wpGskPgJjuJCf+JHeUaZKV/IKPjMIOccRT[/tex]中至少有一个向量不属于任意一个非平凡子空间 [tex=8.071x1.357]OSiHwlHozNocmjFHIEoLoOzJ/uoHkgd68KMb8QMIrMQ=[/tex]记之为[tex=5.071x1.214]BvOexyHxobisCWF2VbXq8I/DLipfwZrqcRt7UsoVSYnBQ2oFOPF+8wfprr/lhzy3[/tex]易见[tex=0.929x1.0]W+eQ7XmIPp3PkTd6/9PK5w==[/tex]也不属于[tex=0.929x1.214]bagzZjjw+9N2GURnMfbDGw==[/tex]即证命题对[tex=0.5x0.786]91OkLAPJN0/k5IKcIh4ulA==[/tex]个非平凡的子空间也成立。即证。

举一反三

内容

0
令[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一些线性变换所成的集合.[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换之下不变，那么就说[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的一个不变子空间.如果[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]在[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]中没有非平凡的不变子空间，则是不可约的，设[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]不可约，而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个线性变换，它与[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换可交换.证明[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换，或者是可逆变换.
1
6个顶点11条边的所有非同构的连通的简单非平面图有[tex=2.143x2.429]iP+B62/T05A6ZTM0eeaWiQ==[/tex]个，其中有[tex=2.143x2.429]ndZSw3zT0QTOVLVdoUto1Q==[/tex]个含子图[tex=1.786x1.286]J+vVZa2YaMpc6mJBbqVvWw==[/tex]，有[tex=2.143x2.429]lmhx48evnQMhi03NovPXig==[/tex]个含与[tex=1.214x1.214]kFXZ1uR8GjycbJx+Ts2kyQ==[/tex]同胚的子图。供选择的答案[tex=3.071x1.214]3KinXFh3SXhZ7nIe1y9KEV6aadxhhJWeEy6Dij1iObdMUZkY6ZA5J2dVVjPSuhEf[/tex]：(1) 1 ;(2) 2 ;(3) 3 ; (4) 4 ;(5) 5 ;(6) 6 ; (7) 7 ; (8) 8 。
2
设[tex=0.643x0.786]SPoVA3bJlgfP9Ek9O4AbuA==[/tex]是欧氏空间 [tex=0.643x1.0]OnL/xFHhhEAi/uoXN96+Fg==[/tex]中的一个非零向量.[tex=5.786x1.071]qulE2au0sCsC2RUF6/a3Jzvc72/Ojlqjke3MkB3mi/ocVm1zbQVoiZ3n4s0Tg+DcUYb3pwbmP3EXwTF2glwNomYL0DEoNyyVLu6+8iQKkhuZ6JyvazWJRaZkYaW46TSN[/tex]是 [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]中[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]个向量,满足[tex=5.0x1.357]0idGSV3RW/tbV3escumNdHHZwbKf1xmh3V9PqDISJefF5gwHSkNQbgXCz+HjqOIvOW8ZHjGRjW/H0V9+RKBbMoYGhfNv/0UJ+ZMglvG8ISg=[/tex]且[tex=13.286x1.357]0idGSV3RW/tbV3escumNdHHZwbKf1xmh3V9PqDISJefF5gwHSkNQbgXCz+HjqOIv3X7xYOiqHA/L4DIR8Pqp6rEfkQ7v5VdSHjTvNM5nc7uXD1AUsKNJ106KDGBmle6c[/tex]证明[tex=5.786x1.071]qulE2au0sCsC2RUF6/a3Jzvc72/Ojlqjke3MkB3mi/ocVm1zbQVoiZ3n4s0Tg+DcUYb3pwbmP3EXwTF2glwNomYL0DEoNyyVLu6+8iQKkhuZ6JyvazWJRaZkYaW46TSN[/tex]线性无关
3
设 [tex=6.0x1.214]aJ6ilKOMd+Qhji0Ydv6BLEeRQkFLrcudDhs9wTevVVY=[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上向量空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 个真子空间,证明:[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 中必有一组基, 使得其中每个基向量都不在诸 [tex=0.857x1.214]cwRVu8HBwDHmaiBxi9Ne3Q==[/tex] 的并中.
4
设[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]上[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维线性空间，证明：由[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的全体线性变换组成的线性空间是[tex=1.0x1.214]Z5GZ0zNulrjGJKMFBGia4w==[/tex] 维的