设 [tex=2.929x1.357]2jWUp16QmcrGSLr2ZWiqxA==[/tex] 是 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 上的二阶矩阵环，证明:[tex=2.929x1.357]2jWUp16QmcrGSLr2ZWiqxA==[/tex] 只有零理想与单位理想，但不是一个除环，由此说明：关于有单位元的环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的极大理想 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex], 其商环 [tex=2.286x1.357]XKzHcrt3dN58hKveNuIuGg==[/tex] 未必是除环。
举一反三
- 设[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想，试证若[tex=2.286x1.357]XKzHcrt3dN58hKveNuIuGg==[/tex]为体，则[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]为极大理想。
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环，[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想[tex=3.071x1.214]2z9vnN+dKaccAoKkXyT6Dg==[/tex]称为极大理想，如果不存在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想[tex=0.786x1.0]kEam2pLJe4uAYVdcny2W5g==[/tex]，使[tex=5.214x1.071]AO/7KPCQT6BOUH7FsWU/aZUmFW8pXsh7FeChrOWQa4k=[/tex]，试证[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的极大理想当且仅当 [tex=2.286x1.357]XKzHcrt3dN58hKveNuIuGg==[/tex]是单环（即不包含非平凡理想的环）。
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有单位元的环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个真理想, 证明:存在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的极大理想 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]使 [tex=2.786x1.143]/AskU05rJFzE+CohvFDboA==[/tex].
- 设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同态, 证明:[tex=2.929x1.357]7sm0+A17+tx/lVOuO5S85F70wS+QwHOEHbE76/O5U/A=[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的有限交换环. 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每一个素理想都是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的极大理想.