设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环，[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想[tex=3.071x1.214]2z9vnN+dKaccAoKkXyT6Dg==[/tex]称为极大理想，如果不存在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想[tex=0.786x1.0]kEam2pLJe4uAYVdcny2W5g==[/tex]，使[tex=5.214x1.071]AO/7KPCQT6BOUH7FsWU/aZUmFW8pXsh7FeChrOWQa4k=[/tex]，试证[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的极大理想当且仅当 [tex=2.286x1.357]XKzHcrt3dN58hKveNuIuGg==[/tex]是单环（即不包含非平凡理想的环）。
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有单位元的环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个真理想, 证明:存在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的极大理想 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]使 [tex=2.786x1.143]/AskU05rJFzE+CohvFDboA==[/tex].
- 设[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想，试证若[tex=2.286x1.357]XKzHcrt3dN58hKveNuIuGg==[/tex]为体，则[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]为极大理想。
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是偶数环， [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 是素数， [tex=1.786x1.357]CKV1ALvFVhxcb15e70XQsg==[/tex] 是不是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的极大理想?是不是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的素理想?
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的有限交换环. 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每一个素理想都是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的极大理想.
- 证明命题 3. 7.注 命题 3. 7 如下:设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环,[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个理想.(1)若[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个理想且[tex=2.357x1.143]dFK0pllFt/zWEC+crtFExA==[/tex], 则 [tex=1.5x1.357]DQDKvU4BxJ/UC33T+mY9sw==[/tex] 是[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]的理想;(2)若[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]是[tex=1.714x1.357]sU/Eol/VzF4h4tpIDEJ9Ag==[/tex]的一个理想, 则存在 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex], 使[tex=2.357x1.143]dFK0pllFt/zWEC+crtFExA==[/tex]且[tex=3.286x1.357]lODhOYSHJTAF/Tk9pX1cLA==[/tex]