设 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 是数域.(1) 若 [tex=3.143x1.214]lc9saNZUQhUfXqPn3pxMxY4O8yGlq8joGgs54MtmfAw=[/tex]证明: [tex=15.571x1.357]a5rpdwstWpaWxpuqSBnfPxhsgPwyKL91iDQyBYn5NPj2UtMC1VmHUlxyIShC/DkQXjnKhW/ZGw1kvuN3RFkz53dDQombxlQ/fbD3ePAajHcTbMzT8W8Jv/VBDiX3NBdE[/tex] 是四元数除环的子除环;(2) 若取 [tex=2.571x1.214]NnZ69AgyqW4HmnrthmVuUA==[/tex] 问这样的 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 还是环吗? 还是除环吗?

2022-07-23

设 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 是数域.(1) 若 [tex=3.143x1.214]lc9saNZUQhUfXqPn3pxMxY4O8yGlq8joGgs54MtmfAw=[/tex]证明: [tex=15.571x1.357]a5rpdwstWpaWxpuqSBnfPxhsgPwyKL91iDQyBYn5NPj2UtMC1VmHUlxyIShC/DkQXjnKhW/ZGw1kvuN3RFkz53dDQombxlQ/fbD3ePAajHcTbMzT8W8Jv/VBDiX3NBdE[/tex] 是四元数除环的子除环;(2) 若取 [tex=2.571x1.214]NnZ69AgyqW4HmnrthmVuUA==[/tex] 问这样的 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 还是环吗? 还是除环吗?

答案：

(1) 证明    显然, [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是[tex=0.929x1.0]MvSWg60URlyxSsp+y7UTiA==[/tex] 的非平凡子环. 又对任意的 [tex=8.5x1.214]Pv8ZHJ2tRxRF6wL+7X90oFAvnS7Hup1EAEXBXiWl32N2PuAAMD2ZmOtU+1P/wkI3FjCu3GrGH7lYidoSjqBrZg==[/tex] 有[p=align:center][tex=16.5x2.429]T/I1B7p/RCN6TlcT4a3vjZyLPIeLYeXxj7jBPhaIhLnnH6w9s1R/9RByu9P+6ezbcXaBziuZc6yPDUuQfacb/AR5oegiCVv9jt8gEmr7bx0=[/tex]所以 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是四元数除环 [tex=0.929x1.0]MvSWg60URlyxSsp+y7UTiA==[/tex] 的子除丟.(2) 解    如果 [tex=2.571x1.214]NnZ69AgyqW4HmnrthmVuUA==[/tex] 易知 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 仍是环. 但由于[p=align:center][tex=19.071x1.5]mysFrpmWvsj823HCYdRpZhwsCeZbvLEPzD8cDyjT6S0yyYRN1V1XYeRxQArumHW9fLD5qjD8mmxKTozrTNf4LB0kCiqpIYQ6EF6thVVjxeiSWXZ8Tauoa4LSqzluoK3UJWbPnUEhRssBlUd4PllcSQ==[/tex]所以 [tex=4.714x1.357]0yPqG9cs5U9/RGinaFA5zObl8SIuN42fPP+6rYBTBlQ=[/tex]不可逆, 从而[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]不是除环.

举一反三

内容

0
设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同构, 证明: [tex=1.571x1.429]WwcGTNxNgqKGUcObs50zWg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同构.
1
设[tex=8.214x1.357]a5rpdwstWpaWxpuqSBnfP5gD19dVn4+wo6RR+XwoA998w/rlSLlM34S4qBIYXX+Z[/tex]，则[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]关于数的加法[tex=0.786x1.071]sISe4zlsm5XRzMPtQa+aFQ==[/tex]和数的乘法[tex=0.286x0.786]RDO/WjWs7bRK6vMLbDizgA==[/tex]构成除环，该环称为高斯数环。
2
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个环, [tex=2.286x1.071]BX5Hq24pv20xx1ImfWhlnQ==[/tex] 如果存在 [tex=2.5x1.214]MUBOqhgSidNbIiPGutca8TrElVNegsU2eDrOYBfzzXU=[/tex] 使 [tex=2.571x1.214]vISNIN/rFHRC9rdtmDdjoQ==[/tex] 则称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个幂零元(nilpotent element).(1) 试求 [tex=1.429x1.214]jBC5UhniB1q3BXBWtSyFOc2/wXu1a7+esOF5m9BzKww=[/tex] 的所有幂零元;(2) 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 的交换环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个幕零元, 则 [tex=1.857x1.071]TckY1UXsKGQ9dh30ORCSzg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个可逆元;(3) 证明: 交换环的幂零元全体构成一个子环.
3
我们看有理数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的全部 [tex=2.286x1.143]lL/KTIAdeAGi+eDPP+Lq6A==[/tex] 矩阵环 [tex=1.643x1.214]GUp1kXxG7MpXQYitx0FWPA==[/tex] 证明 , [tex=1.643x1.214]GUp1kXxG7MpXQYitx0FWPA==[/tex]只有零理想同单位理想，但不是一除环.
4
证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;