• 2022-06-01
    证明 : 环(整环、除环、域) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环, ( 整环、除环、域 ) [tex=1.0x1.214]lxhud3pIL6e1Sajcva1bpg==[/tex] 与 [tex=1.0x1.214]mCBJKK67lwY/CXys3aGQJQ==[/tex] 的交 [tex=3.071x1.214]KMnH7iLuqD4RihV46A0bAXlCWVmaFisPEG7riUiJniA=[/tex] 仍是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环(整环、除环、域).
  • 解 由于 [tex=5.0x1.214]wRH1MvFbi+tAfN8b8hTg0YmCnSN8Gcl1CWQ0xbaQvLY=[/tex]因此有[tex=6.643x1.214]hc1hOWN7Ci62FSl5cfA4eYK6baOlLIDrw/Gcxws2tJDmdHOKadMY1bxFaf8VuCsr[/tex]且显然 [tex=5.429x1.214]KMnH7iLuqD4RihV46A0bAUhI1LSV7PpvUk/elXg465k=[/tex]对于 [tex=5.786x1.214]3p9vSbuXy9b35NRjagiE2YBpAvTac06yfUc6wPUfztELee+S+Ta0szheys4fa5MZ[/tex] 有 [tex=6.286x1.214]KnfJDq11pAF5to45UXzvNkIJTQEw16Lz9B9I+JCPd9QItdIT5Lpll+L46MBFKte9[/tex]又 [tex=1.929x1.214]uYAPqKbWnu0kRyWaiUS8Ig==[/tex]是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环,则有[tex=7.214x1.214]Ch+8WlnR6z+ggCq2V1NdH43wSdMm0CkIq43jhLPttZA=[/tex] 从而[tex=7.0x1.214]ZYMWsJlsk4Jwi2+Jo8Sdcnx9uwYY5eZojxXZ9Qv6cBAS9NwR/nn0zj3DVNfNEep9[/tex]因此 [tex=3.357x1.214]LJAoCKsdLFCYqMOQDydwSKn/K7EKxKcbglOgpHey0hI=[/tex]是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环.其余类似情况可以类似证明.
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    内容

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      设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是整环, 证明: [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是整环, 且若[tex=8.714x1.357]oVr3Dwq4mCJpVeSnaB2gBav6gzXX+4IxyzkrLDKnpT4ofCdHisdPAVuC8sqanZWC[/tex], 则[tex=16.5x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83y9aNKwSst378OWInw7DpxyGmQvFvzv47TsWEB5CANufqeVJfC5Y+JfjLUHVVTF8QBv5sk3NVPESDFkfmPLVHWl2szY4MP7dPrINkk8Lxn2x[/tex] 

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      证明: 环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的若干个理想的交仍是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想。

    • 2

      设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]为布尔环,即环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中每个元素[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]都有[tex=2.643x1.214]rGw4MkWcRtkyG2nvDYVhVw==[/tex]证明:若 [tex=2.643x1.357]lY19m87d4iVSMgivVn0dsD7I7TKqkVK+EMglhu5HHP8=[/tex],则[tex=0.786x1.0]XNP4Jpyr7QiS9iMSbxewJg==[/tex]不是整环.

    • 3

       设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是整环. 证明: 对 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的任何非零多项式 [tex=4.429x1.357]xDE+DYVVlqrwETxnz6Xubg==[/tex] 有[p=align:center][tex=15.5x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83y9aNKwSst378OWInw7DpxyGmQvFvzv47TsWEB5CANuf6zpgFv5dmqUYhh4odqlC50+QDGCeyPT0ix16HCQ6y8st/RB8mbB6Oa20he8QsA61[/tex]如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 不是整环, 这一结论还成立吗?

    • 4

      设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是交换整环,[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上的一元多项式环,[tex=3.857x1.357]08KAQS07lnW3KbEsVzyEgw==[/tex],证明[tex=9.643x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83w8M9eAgpYDtrTS0yKcWxYhjhe8CvfLviGuH10wMM8R3+/XGiGHeT44WaH8Se0A3pUmLGBi1p5WHBtb8TSD7YH8=[/tex],试问对一般的交换幺环,上式是否成立?