证明(1) 环 [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的任意有限多个理想的和还是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想 (2) 环 [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex] 的任意 ( 有限或无限) 多个理想的交还是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.

2022-06-08

证明(1) 环 [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的任意有限多个理想的和还是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想 (2) 环 [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex] 的任意 ( 有限或无限) 多个理想的交还是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.

答案：

证明 (1) 设 [tex=5.571x1.214]Byz1LWyhOYte1Dt19D+1vG90EdVCZWiadl2jKEqZZ+c=[/tex]为环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, 令[p=align:center][tex=25.929x1.357]h2/23FuGjLeuIRwEQ36us2FSMYLJpyFUbjXlj35uQpo9xU/gyt/lyWZf+JAugz+iUQaIN3otHRrq7ByYSXOIzvT62yXTKdBM8ijk79n3uYFf8DOOYFHl6wURdkbdmRXrbsuQbKvYYld0Z7oYRr1XXA==[/tex]对任意的[tex=24.929x1.357]xK3R97Qwf/BxW0Yk68mKfKLeilKX+po9NhXQsqUwtMxrXC/QRWHTPS/PfEmUcJUYs7gYvjwRGWKHpWz0W2sx8lqw37N/MOZruoe25vuul19BGSmlnlS97cXgg+B1Li5cnXFrU3i1Y3wHn9dkb8J2NQ==[/tex]有[tex=15.429x1.357]bWs5Dn8yBw3SG+9wKd/RzjgJBcnFP0YKNEnLQbKSEyVoEB6Wh6jkRewSRoXINDzJKgBdU77JaT4PqDp16hhvg+lq/WaamrfD1Cao4KsMdCw=[/tex] 从而[p=align:center][tex=19.5x4.214]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtr01UHSCJM+3FHCL34FcYAOrIPE8mKGYGHQaclXRVMRb4Uihe6uAHg0YJudQocEfyqnQW0peCsj34VhBRV0PsHdNIN+St96NYPt6XYUm0pMCYv1gJcIRjpk9Mg5RGLmnzZOONtQLuZrtU81d3X77TShqYsYs+F9fZhaVVWojkVa2Upj/jBI4FS3Fes6BD4qArN7oEJ7QBF0TiyK64Zm8lqshhT8KKNBe5rDMd2pxqFlIn5cn8Qy/iU7WvOq8g7yNkfkktFKvlWUAppRFdQi6d5ww=[/tex]所以[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.(2) 设 [tex=4.143x1.357]kSFPS3moiPE4KqMSWdW05J6U9yQLzMtJ/OANmVBMIc4CrOjI7juvR+NqzBRqojmZ[/tex] 为环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一族理想 (其中 [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 为指标集), 令[tex=3.357x2.786]wP9WEisEjdWahQ4MvVrW5Bmo8nTp+H/8qGUDZM/0+zM=[/tex]对任意的 [tex=5.214x1.214]WGiwsAUMAexWn9n+fl4rq5Rjt2QonmrfOYvxKruBvnw=[/tex] 有 [tex=3.143x1.214]lWN+ooEjGsmuYIsANpyKMvm7czp1+/c/qOES85yFptI=[/tex] 于是[tex=10.143x1.357]BNuj4pNgl++V21nq4KAzSNkeDhe2aLt8C9YTS9KB55lDcwh5wooKdH9m4aBIjTXT[/tex]从而  [tex=8.0x1.214]Dq3XnupVcVjNu8R2MUNr63X5Jd84WfYnhLGa7n6mkDpT0TOTzyZEG6JAc9nmiZQ2[/tex]所以 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想.[p=align:center]

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的有限交换环. 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每一个素理想都是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的极大理想.
1
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是主理想整环, 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的任一非零素理想均为极大理想.
2
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为幺环，试证明：右[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]模的自同态环[tex=3.286x1.214]TZTRDxIrnrgeWDCFK/AUreW7QrbLbLJHTsQZT5KgKx8=[/tex]与[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]同构。
3
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个幂等元. 又令[p=align:center] [tex=20.143x1.357]1nNx0v0xahUov8iOMsbIJSTePpYEVwplkGBgTsS4c8sqIb+EnuG7ytbM1JlbstfDj0yZgartECCb5ywUL0GEWw==[/tex][p=align:center][tex=16.357x1.357]K74PCw+F0FdcOYfSdPHPtNBUkPbvTYXg6JylocAerDNeaw7pzXoIr6yj8NWIxwCw[/tex]（[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]不一定有单位元）证明:[tex=6.714x1.357]Bis8/eY8aphbE2JEKHudIA==[/tex]分别为环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的左、右理想.[br][/br]
4
(1) 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为含幺交换环, 求证环[tex=2.929x1.357]6PWl/fP3j/y7kKn3SuUmlw==[/tex]中每个理想均为形式[tex=2.643x1.357]bIca31SPWWCVnjLQzUHuxg==[/tex], 其中[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的某个理想.(2) 若[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为域, 则[tex=2.857x1.357]9mjonrKL5MA/BYFXOHU6Cg==[/tex]是单环.