记 [tex=2.143x1.357]eJcANZkQdIc4tktS8KwiGA==[/tex]为求积分[tex=7.429x2.857]+2Lz5iWiBNbdkkHYhnzokuQfqOax29x1H/+C571obVM/6rLoTeI+TtnLwQWc/C1E[/tex] 的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 点 Gauss-Legendre 公式. 证明: 对任何连续函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex], 当 [tex=3.214x0.786]qik8LdpGyj+/jQEQYT+6XILcwSa5SSqbvuWLHKqZKPk=[/tex]时, [tex=5.143x1.357]fiPZnjtF9fG4s/8MWCmJINOAI702CNDu4XsEct4v4O8=[/tex]提示：利用函数逼近的 Weierstrass 定理及 Gauss 型求积公式中求积系数的正性.

2022-07-29

记 [tex=2.143x1.357]eJcANZkQdIc4tktS8KwiGA==[/tex]为求积分[tex=7.429x2.857]+2Lz5iWiBNbdkkHYhnzokuQfqOax29x1H/+C571obVM/6rLoTeI+TtnLwQWc/C1E[/tex] 的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 点 Gauss-Legendre 公式. 证明: 对任何连续函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex], 当 [tex=3.214x0.786]qik8LdpGyj+/jQEQYT+6XILcwSa5SSqbvuWLHKqZKPk=[/tex]时, [tex=5.143x1.357]fiPZnjtF9fG4s/8MWCmJINOAI702CNDu4XsEct4v4O8=[/tex]提示：利用函数逼近的 Weierstrass 定理及 Gauss 型求积公式中求积系数的正性.

答案：

证明  此题注意 Weicrstrass 定理, [tex=5.143x1.214]wnnVw3AI26tAAle5k2adK4hAxrNWuRtwL2qxo/hXrG1D2SeLZczl493yQLgyT+aJ[/tex], 使得[tex=13.071x1.357]xrHjSacxlDpL9+PpMonUebNXNIDswOf+0PzFEHYPCRXfmN3A4Mdse9IOF2Tuc9CbnLYmyawJm/xhyZ7BaMCoEg==[/tex][tex=27.5x5.714]O4oHMLWhd3pcP0sv2KoPgjydeeap/ayaN+H8bjQDCEq1Kr4Lg5YluAYKp6WmnRjwvTz7Nje6L3yoaG+n1xOuOkFdhemRXavo2+BBi77y1tuvjFYyCagPMM+KOOvjdQzehtbTRwRlTvNtTJf66gne+I1HmmtA8l0UISfvH2auCGqNEa+qjgtUhbkQZtg+OpwqP4vubpTg25F6MynCU0ySCz8Z+dY+lH/AkBYe1jLYQY4iXscaNllZHBE0WXtdpnxqz4ZVt8uW4kDj2jXyzebQwLuLI2+kCyqrhvmn6TAsfrfu8JQzv+4SqE09SVtqCf2lNqqt3KvOfHKDyoFKFdS3kXwCNNu35rM/Ae4BZJo1BHw=[/tex]因为 Gauss 型求积公式, 对次数 [tex=3.5x1.143]pXDqonDxFg8iysL1uyzr1qPD9ptuxHUi6e9zSzSC4tM=[/tex]次多项式是精确成立的, 因此若取[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex], 使得[tex=4.643x1.143]0y1fv6h0sE4sl5foT9PbnQ==[/tex], 则有[tex=12.643x3.286]e7VFMOR5DCCmiA7VN6UuVBI8rR50yZ0IQRQmMFTq6IDDWbUVzV/qoSfr8YRX1FIhk26clMtv5AU4HBadUE65t2Sgb4FInbgBBDHTo4jjUSZKJDVidc6emWMDRz2KnPGZ[/tex]于是[tex=13.929x3.286]Bz8drkZsS8CIEJsdap+leyYdVlM3PjCrNLGRmMKo/gHDKVDlI4SRqE+BMRTr+5H6Q5p75xa5dBZ1UySEPODDY0GxdkWJN/Z8J6Gb0p/lEaxCv9lHJKeAtMeSKphIyCUhB7y1WlBoGYJCqlt9e6UDKQ==[/tex]故当 [tex=3.214x0.786]qik8LdpGyj+/jQEQYT+6XILcwSa5SSqbvuWLHKqZKPk=[/tex]时, 有 [tex=5.143x1.357]fiPZnjtF9fG4s/8MWCmJINOAI702CNDu4XsEct4v4O8=[/tex]

举一反三

内容

0
利用[tex=1.929x1.0]au2olChJIABR52MosDCmMw==[/tex]的 Gauss - Laguerre 求积公式计算下列积分:[tex=4.643x2.643]Tm/h5uXYRRiT123DUwlP61UOQmbeYnJ70ESysO/1jfUebUqRfFLpBNBuv0JyMJqd[/tex]
1
利用[tex=1.929x1.0]au2olChJIABR52MosDCmMw==[/tex]的 Gauss - Laguerre 求积公式计算下列积分:[tex=5.0x2.643]Tm/h5uXYRRiT123DUwlP6xdNJyz3hkWt8WvRDSKQ/rczMspT97FQVSrNvy7gQ3nA[/tex]
2
已知[tex=5.0x1.286]nNRgYScRPw16N2lBJqtTsA==[/tex]，[tex=5.0x1.286]ZIJz5gTGIgdeWAGMFdoL1A==[/tex]，则[tex=6.214x1.286]wE5wtWoL9HR6uGPZrIzvHA==[/tex]成立的[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]值为 A: 1 B: 2 C: 4 D: 6 E: 8
3
设有计算积分[tex=7.929x2.429]6yjoPdtrY0fEegt2Nirk3vG9gUtiJPizFOWgc7TMiyWNPIDvGy1JQ6RKooqzuqq2jr48FYahPZeLIqfkjTNOMA==[/tex]的一个求积公式[tex=9.929x2.357]8/8t96oo1q2VxJN43WyCrGKW8SYiha7Owjx9JN9OWsGj4eBz/i25vzPA3BGIJrHerW4HStoGdiFfXYueCwoFwA==[/tex]（1）求[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]，[tex=0.5x1.286]PGyKeLDo0qv9T0n29ldi6w==[/tex]使以上求积公式的代数精度尽可能高，并指出所达到的最高代数精度。（2）如果[tex=6.214x1.286]n1YvCVrl7MdKn3TWFkArCq/U3wJIeei6hRMj5ecbjGo=[/tex]，试给出该求积公式的截断误差.。
4
利用[tex=1.929x1.0]au2olChJIABR52MosDCmMw==[/tex]的 Gauss - Laguerre 求积公式计算下列积分:[br][/br][tex=6.143x2.643]Tm/h5uXYRRiT123DUwlP61qojH2mzQEUEQwduYNEZeygAoZ5Nm1PE72OOko8Iw8G[/tex]