求有理数域Q的扩域证明：x1＋1在有理数域Q上的分裂域是一个单扩域Q(α)，其中α是x4＋1的一个根．证明：x1+1在有理数域Q上的分裂域是一个单扩域Q(α)，其中α是x4+1的一个根．
易知虚数是多项式x4+1的一根从而x4+1的全部根为±α±αi．故x4+1在Q上的分裂域为Q(±α±αi)=Q(αi)．但是i=α2∈Q(α)故Q(αi)=Q(α)．因此x4+1在Q上的分裂域是单扩域Q(α)．易知虚数是多项式x4+1的一根,从而x4+1的全部根为±α,±αi．故x4+1在Q上的分裂域为Q(±α,±αi)=Q(α,i)．但是,i=α2∈Q(α),故Q(α,i)=Q(α)．因此,x4+1在Q上的分裂域是单扩域Q(α)．
举一反三
- 求有理数域Q的扩域在Q上的次数．
- 证明,有理数域[tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]上多项式 [tex=2.286x1.357]sp9dySalToVvVo68uJ+aWw==[/tex] 的分裂域是一个单扩域[tex=2.357x1.357]A2Zflt9k8vIus35U/ivdXg==[/tex]其中 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是 [tex=2.286x1.357]sp9dySalToVvVo68uJ+aWw==[/tex] 的一个根.
- 设有理系数多项式$f(x)$的标准分解式是$$f(x)=cp_{1}(x)p_{2}(x)...p_{k}(x),$$其中$p_{i}(x)$是互不相同的次数大于1的有理数域上不可约多项式，则$f(x)$在复数域上根的情况是( )。 A: 无重根； B: 可能有重根； C: 无实根； D: 有$k$个实根。
- 在有理数域Q中，x^2-2是可约的
- 设多项式f（x）=x4+4kx+1（k为整数），证明f（x）在有理数域Q上不可约．
内容
- 0
设个体域{1,2}，谓词P(1)=1，P(2)=0，Q(1)=0,Q(2)=1，则∀x（P(x) ∨Q(x)）的真值是1。
- 1
如果多项式f（x）=x3+ax-1在有理数域Q上可约，则a=___．
- 2
证：实数域是有理数域的超越扩域，但不是纯超越扩域.
- 3
【判断题】有理数域是最小的数域是指任何数域都包含有理数域
- 4
设f(x)，g(x)是有理系数多项式，且在复数域上g(x)| f(x)，则在有理数域上，也必有g(x)| f(x)。 A: 正确 B: 错误