证明,有理数域[tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]上多项式 [tex=2.286x1.357]sp9dySalToVvVo68uJ+aWw==[/tex] 的分裂域是一个单扩域[tex=2.357x1.357]A2Zflt9k8vIus35U/ivdXg==[/tex]其中 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是 [tex=2.286x1.357]sp9dySalToVvVo68uJ+aWw==[/tex] 的一个根.
举一反三
- 令 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是有理数域, [tex=2.286x1.357]+Tq8vOO7Ka0JrSei6kcgpw==[/tex]是 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]上一个不可约多项式,而 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 是 [tex=2.286x1.357]+Tq8vOO7Ka0JrSei6kcgpw==[/tex] 的一个根. 证明， [tex=2.214x1.357]QkJlZbkINCA0uoReWtui4Q==[/tex] 不是 [tex=2.286x1.357]+Tq8vOO7Ka0JrSei6kcgpw==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上的分裂域.
- 设[tex=2.286x1.357]+Tq8vOO7Ka0JrSei6kcgpw==[/tex]是 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上一个不可约多项式，而[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是 [tex=2.286x1.357]+Tq8vOO7Ka0JrSei6kcgpw==[/tex]的一个根. 证明：[tex=2.214x1.357]igr65S58KWd/UXCFXvULiQ==[/tex]不是[tex=2.286x1.357]+Tq8vOO7Ka0JrSei6kcgpw==[/tex]在[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的分裂域.
- 设 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 为多项式 [tex=6.286x1.5]d92Xz1BBTe5cluBP+gYCe1E6jNWXd9vtrWglG7xlKCo=[/tex] 的根. 证明: 在 [tex=0.929x1.214]ipY8J/5IDyDdvaflKWkPEg==[/tex] 与 [tex=2.286x1.357]KeCcnW4J+1YUoRVbPqZ9z72Ut9U+01FvvOgWRYZFy7w=[/tex] 之间没有中间扩域.
- 单扩域定理 : 对于任一给定域 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 以及 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上一元又项式环[tex=1.786x1.357]K4FsY6VgImZd8wLXRcESkg==[/tex] 的给定不可约多项式[tex=12.357x1.5]fS/Bf/jCTfAXbQL40apxgKNHfzBuPHplzfSwQMHOKjSm7HQ2F1okb+QYZa3nVcpz[/tex]总存在 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]的单代数扩域 [tex=2.357x1.357]VoicuIRNXuOFNsgOu51kvg==[/tex] 其中 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上的极小多项式是[tex=2.0x1.357]IpD5lLMNSoOfHDUzqLjOxA==[/tex]详细证明定理中 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在域[tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]上的极小多项式是 [tex=2.143x1.357]yJmi2mrkwuEXwLM8VXTLrQ==[/tex]
- 令 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是域 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 的一个代数扩域,而 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上的一个代数元. 证明, [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上的一个代数元.