设多项式f（x）=x4+4kx+1（k为整数），证明f（x）在有理数域Q上不可约．
证明：若f（x）有有理根，则有理根只可能±1，但f（±1）=2±4k≠0，因此f（x）无一次因式若f（x）可约，则只能是分解成两个二次因式的乘积又f（x）是整系数多项式，因此f（x）可化为两个整系数的二次因式的乘积不妨设，f（x）=（x2+ax+1）（x2+bx+1）=x4+（a+b）x3+（2+ab）x2+（a+b）x+1，其中a和b是整数得：
举一反三
- 设$f(x)$是数域$F$上的多项式，$K$是包含$F$的数域，则下面断言正确的是（）。 A: 若$f(x)$在$F$上不可约，则$f(x)$在$K$上也不可约； B: 若$f(x)$在$K$上不可约，则$f(x)$在$F$上也不可约； C: 若$f(x)$在$K$上可约，则$f(x)$在$F$上也可约； D: $f(x)$的可约性与所在数域无关。
- 设f(x)，g(x)是有理系数多项式，且在复数域上g(x)| f(x)，则在有理数域上，也必有g(x)| f(x)。 A: 正确 B: 错误
- 中国大学MOOC: 设f(x)，g(x)是有理系数多项式，且在复数域上g(x)| f(x)，则在有理数域上，也必有g(x)| f(x)。
- 设有理系数多项式$f(x)$的标准分解式是$$f(x)=cp_{1}(x)p_{2}(x)...p_{k}(x),$$其中$p_{i}(x)$是互不相同的次数大于1的有理数域上不可约多项式，则$f(x)$在复数域上根的情况是( )。 A: 无重根； B: 可能有重根； C: 无实根； D: 有$k$个实根。
- 如果多项式f（x）=x3+ax-1在有理数域Q上可约，则a=___．
内容
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设p(x)是数域F上的不可约多项式，若p(x)在F中有根，则p(x)的次数是（）。
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用谓词逻辑推理证明:有理数都是实数,有的有理数是整数,因此有的实数是整数。证明:设Q(x):x为有理数;R(x):x为实数;Z(x):x为整数;前提:∀x(Q(x)→R(x)),∃x(Q(x)∧Z(x));结论:∃x(R(x)∧Z(x))。(1)∃x(Q(x)∧Z(x))P(2)Q(c)∧Z(c)ES(1)(3)∀x(Q(x)→R(x))P(4)Q(c)→R(c)US(3)(5)Q(c)T(2)I(6)R(c)T(2)(4)I(7)Z(c)
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若f(x)的常数项a0=±1,令g(x)=f(x+b),b=1或-1,如果g(x)在Q上不可约那么()。 A: f(x)在Q不可约 B: f(g(x+b))在Q不可约 C: f(g(x))在Q不可约 D: g(f(x))在Q不可约
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在数域F上x^3-6x^2+11x-6可以分解成几个不可约多项式？（） A: 1 B: 2 C: 3 D: 4
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用谓词逻辑推理证明:有理数都是实数,有的有理数是整数,因此有的实数是整数。证明:设Q（x）:x为有理数;R（x）:x为实数;Z（x）:x为整数;前提:∀x（Q（x）→R（x））,∃x（Q（x）∧Z（x））;结论:∃x（R（x）∧Z（x））。（1）∃x（Q（x）∧Z（x））P（2）Q（c）∧Z（c）ES（1）（3）∀x（Q（x）→R（x））P（4）Q（c）→R（c）US（3）（5）Q（c）T（2）I