求一曲线, 使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数 [tex=0.857x0.786]01kq8KmHly+rFzDvW3W5pw==[/tex]

2022-07-02

求一曲线, 使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数 [tex=0.857x0.786]01kq8KmHly+rFzDvW3W5pw==[/tex]

答案：

解：切线在 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 轴和 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴上的截距分别为 [tex=4.143x2.357]Wu+NkiN1+w03LHw0v8Q7eTKr41MdAwC/Fd8+IbLyS7RnZrwD+01SyM8ry1CPnehm[/tex] 和 [tex=4.286x1.357]jw4KXXxfO5+LSfyiGDu9ScrcWS0d7jq64Rj19AwcEYw=[/tex]  题设要求两截距之和等于常数 [tex=0.857x1.0]igEvOH1XvqOQaaZ9SkuMnA==[/tex] 即 [tex=7.357x2.357]/A5FVP5XvjRYewcphOIWjRmCYQm+6DaOP8+TYd597xmgf3rTWTqPPexMPCDJK6B5[/tex] 解得 [tex=6.286x2.643]34/o39VnmR6tPtMRU+ZKyRTZeIq4Yw7ZJqQX6PFM4EY7jbXY4NcvZJdXBOvR/Z1f8Pk9q5xIvCjBwY+3aV6fgg==[/tex] 令 [tex=2.357x1.357]8N89/TZMtSYOX6zvQ9INWw==[/tex] 代入有 [tex=5.786x2.357]HJDC9pMS9dPsLrQlGbZ87Sapzw10as9YpmjnogUIunQ=[/tex] 此为克莱罗方程, 有通解 [tex=5.643x2.214]UEP+PtLnKkGlBQVdDYKQpUyX1zI9q9uqWUxzpKmKo4Q=[/tex] 其中 [tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex] 为不等于 [tex=1.5x1.214]CzIJwrtQxHi44npGJoGWug==[/tex] 的任意常数. 由 [tex=1.214x1.071]p1FSswuDE0f5v2ss5n2KvQ==[/tex] 判别曲线 [tex=12.143x2.429]oEjX/MgmI2AR0C10+WP79XjX8DTwRn+OdSP5topyee3PzaOOuMjaLsK+7haXbaZQxMMAcVN5EyTkxyTLicJFrw==[/tex]将第 [tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex] 式中 [tex=5.643x2.786]2b18Mby1STaUWUCk/nwS/aGHH+vTIcMnFOli1haFs0s=[/tex] 代入第 [tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex] 式, 得 [tex=21.571x2.214]UEP+PtLnKkGlBQVdDYKQpUravANhZBcLk175B2JyPg+sCYPlJTPsqKSXcJgDIkbrnImtxDhuBeTkbkUDGv8MHay/KMs11AJxI/mEw6Ir1t8=[/tex] 即 [tex=7.0x1.5]mcSQzMMu8vp80m+Qb+5k5roAgUCrGoAEjQeqAyhTfJ4=[/tex] 检验 [tex=6.714x1.5]8AnqLCvJosbzC+fso9GfAa2Y7WHM10ruzpTIWTs1e7A=[/tex] 是方程的解, 事实上, 对 [tex=5.357x2.357]HJDC9pMS9dPsLrQlGbZ87Zu4MQ/j84O+1NyLcCDP0UA=[/tex] 求导有 [tex=8.0x2.714]FrDkygFy/2eHZtEz5msOKseIsQmzUFfkqH9kypu6bWs0xwAhfqRNWIn0qKiCbNd5xMWeNpirDwDsY+jbtx3DpQ==[/tex], 即 [tex=8.0x2.786]rPohjtp2SvzThLBB7duQ2TtgKoenn+n4vLJs+7JgOXpSGWLWSNVeK3G6MaESaBGz[/tex]. 得 [tex=5.714x2.786]w9HtfUNkJhDDynJP9UOlLzI6PGlUeioNjqMs4fZDgLI=[/tex] 代入方程有 [tex=7.143x1.357]FJjxOKI1xfj8RrJFR2d7+Nn6C9Tl6NV18gvC4nSZdEs=[/tex] 故 [tex=6.714x1.5]mcSQzMMu8vp80m+Qb+5k5hwyAu49jRaPbHZfKVBdz5o=[/tex] 是方程的解, 它是奇解.

举一反三

内容

0
求一曲线，使得过这一曲线上任一点的切线与该点向径的夹角等于 45 [tex=0.429x1.286]6c35PKbJOsIB3hpXj6p6bQ==[/tex]．
1
一曲线过点(1,0)且曲线上任一点[tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 处的切线在[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴上的截距等于[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]点与原点的距离.求该曲线的方程.
2
曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 是一条平面曲线，其上任意一点 [tex=6.143x1.357]yuQVB4s2ZaTxXH98rOGLUw==[/tex] 到坐标原点的距离恒等于曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 在该点切线在[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴上的截距，且 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 经过点 [tex=3.786x2.786]5ipjI0CM2ngAbGND1jDprBsSv0zYtRNfPJ0h3rsEYYo=[/tex](1) 试求曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]的方程;(2) 求[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 以及两坐标轴所围图形的面积最小.
3
在曲线上每一点 [tex=3.286x1.286]4JF8A4djBxovbAgZBfCK2g==[/tex] 处切线在 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 轴上的截距为 [tex=2.0x1.286]hIwcFvSK/oAQmhWDuYemUA==[/tex], 且曲线过点 [tex=3.5x1.286]fNbNfc5CuexRbVEPodAAAA==[/tex], 求此曲线的方程.
4
一曲线通过点[tex=2.286x1.357]rsTVkrOkUQdGVRwrN+BHyg==[/tex], 它在两坐标轴间的任一切线线坂均被切点所平分，求这曲线方程.