求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]。

2022-07-02

求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]。

答案：

设所求曲线方程为[tex=3.714x1.357]iOu+GzS/6CXHI3e5Z6ERjw==[/tex]，以[tex=1.857x1.214]cYaPowyBeHkAgr9IlVFWqg==[/tex]表坐标系，则曲线上任一点[tex=3.643x1.357]SYeypAKuh1pRx7HchdRGEw==[/tex]的切线方程为[tex=10.429x1.429]N6YKacIHS9SEJlPPmq+3VA5naapkD/9BmcnME2i4IqQ=[/tex]，它与[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]轴，[tex=0.643x1.0]O+viFNA0oHTwnBtQyi80Zw==[/tex]轴的截距分别为[tex=10.857x2.357]C87tvWNQ2S06BUWDoKJd+M+MwLPiIxDBe6O4ZUesp/5RL3DFR9hXk3FiDyWHTq4IqvRdXYt5tXkHWdtJhk5Hlw==[/tex]，按条件有 [tex=8.214x2.357]EXPUCXgUWUV797r+7XqU/E+srKSO9D0M5lO5VjMK91m56609SC5sCW+bY4V81F7G[/tex]，化简得 [tex=6.429x2.643]RFQCRwQvT1o2HBvTNzzmTOV1Ad015Q13BJBGLyvvq3TyNTU56lYQ9yU8E86fQh6A5IkC+evZ9PD6nLcwgBhaBw==[/tex]，这是克莱洛方程，它的通解为一族直线 [tex=5.786x2.214]A1mAY0ZsmPPUGyVpM36RT27MIJeT97wSUBiEw6/XJ+o=[/tex]，它的包络是 [tex=11.429x5.214]7EJHVCtO2IWq3KpdB+jQsmYSDbA+xeJKeXMUQ72VHwa870bHOWyYIDQ29zJe+ANDG0zGdTd0q87zezBHk8xWXx0KUPjh245Z5k/EM+Zf3oVvXo4wiHZM/c/4TehGZpyGamzWvdu1FIJeTpjaS8fhkg==[/tex]，消去[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]后我们得到所求的曲线 [tex=7.714x1.5]G5vWPWZ6AMvyvc/eZfRr3pRHfWAyBWe+N/lroR+PSQ0=[/tex]。

举一反三

内容

0
曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 是一条平面曲线，其上任意一点 [tex=6.143x1.357]yuQVB4s2ZaTxXH98rOGLUw==[/tex] 到坐标原点的距离恒等于曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 在该点切线在[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴上的截距，且 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 经过点 [tex=3.786x2.786]5ipjI0CM2ngAbGND1jDprBsSv0zYtRNfPJ0h3rsEYYo=[/tex](1) 试求曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]的方程;(2) 求[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 以及两坐标轴所围图形的面积最小.
1
在曲线上每一点 [tex=3.286x1.286]4JF8A4djBxovbAgZBfCK2g==[/tex] 处切线在 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 轴上的截距为 [tex=2.0x1.286]hIwcFvSK/oAQmhWDuYemUA==[/tex], 且曲线过点 [tex=3.5x1.286]fNbNfc5CuexRbVEPodAAAA==[/tex], 求此曲线的方程.
2
一曲线通过点[tex=2.286x1.357]rsTVkrOkUQdGVRwrN+BHyg==[/tex], 它在两坐标轴间的任一切线线坂均被切点所平分，求这曲线方程.
3
设一曲线通过点[tex=2.286x1.357]o19Jd9ZxCAC2yT1c/44ZdA==[/tex],并且在曲线上的每一点处切线的斜率都为[tex=1.071x1.0]yazYN/HGP0eKUQ38zQ9NWQ==[/tex]，求此曲线方程.
4
一曲线通过点[tex=2.286x1.357]ZhmNlR4efrVbrS4DgW2LnA==[/tex]，它在两坐标轴间的任一切线均被切点平分，求曲线方程.