设实二次型 [tex=2.714x1.143]dP07PCoGPFQPOO80AQmdE2mlxqkFUKQKDeeTCA7aeAg=[/tex] 满足 [tex=4.0x1.143]dP07PCoGPFQPOO80AQmdEyH/Zra8UWv/+xt0f01I8HY=[/tex] 当且仅当 [tex=2.429x1.0]1DS5uO6ogcWtk9LPXfthlA==[/tex] 试证 [tex=2.714x1.143]dP07PCoGPFQPOO80AQmdE2mlxqkFUKQKDeeTCA7aeAg=[/tex] 或正定或负定.
举一反三
- 设[tex=11.643x2.143]CCFg+gy3IK7+/X/+IFDiL4Gu7UMd/tHOHs0Xryo+lKxUNlWydmZ/OTy/ZvzN+w8o7U4ndmbAlloYYaf/noclIWazc4w3p8IxBNMtlJEqV6bpLDtWf4MpSRvnBd1rdBEP[/tex]，求以[tex=2.714x1.143]f7YRP9BeDCRR5hFO+WlXmg==[/tex]和[tex=2.714x1.143]RhYEee1Rd4zYOGbGTCGm7A==[/tex]为边的平行四边形的面积.
- 设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]均为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称阵，其中 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正定. 证明: 当实数 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex]充分大后, [tex=2.714x1.143]Q5uaM41Yzr+Okr19RK07xg==[/tex]亦正定.
- 设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 都是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定实对称矩阵, [tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex] 是非负实数, 求证:(1) [tex=5.214x1.286]mpgjJ5sS/q1+4pE2Jx9ta2ZzfyMEkRGvogNp8W9xVAI=[/tex] 都是半正定阵;(2) 若 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 是实矩阵, 则 [tex=2.714x1.143]Bh80CWdh94MpwyVgXkW++Vuq8VLu4PvC4y5seeu8Sr8=[/tex] 也是半正定阵.
- 设 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是实 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶对称矩阵. 试证 [tex=0.786x1.0]VCFC+VP8w+sMJeRvvNnjBw==[/tex] 为正定矩阵当且仅当对任何正定 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]PutU1cWdyHyySBp7YfCWhQ==[/tex] 及实数 [tex=9.714x1.286]oUHjocG8NyrFpz5xluPGjVBwMqdo0SsQbqcFfRrPl5De1mcdBqGoXCbTQU2+CJKBWCubJ4DGp1EJ8LN1Lp9fGQ==[/tex], [tex=3.5x1.214]OwSXGS2Xb/MLUGvk44HeeUvDzEABepl8Va4Fc3Yyq5w=[/tex] 是正定矩阵.
- 设 [tex=4.0x1.214]gqm0mWUCKdOARf086AW0480jEQ3Xm81NfZLfINt8SrF3Bc8hkj34rbCcz4E0io/L[/tex] 试证1) [tex=2.571x1.143]WdbVvotJqaIEmmV0vNMW+jEQ83lsj5/Yim9TL3pJrZU=[/tex] 当且仅当 [tex=4.286x1.143]80Wj0uAKV+7pqHZEfv32mPI23ILOBLq3IKynnNCFOURqLDiirzP1JdUlbdFmI9kX[/tex], 且 [tex=0.786x1.0]PutU1cWdyHyySBp7YfCWhQ==[/tex] 的特征根都是实数;2) [tex=3.286x1.286]V5aIETDsYc6y76PNWXSA4NaDDrtbuCAhe1mIrkwO9SM=[/tex] 当且仅当 [tex=4.286x1.143]80Wj0uAKV+7pqHZEfv32mPI23ILOBLq3IKynnNCFOURqLDiirzP1JdUlbdFmI9kX[/tex], 且 [tex=0.786x1.0]PutU1cWdyHyySBp7YfCWhQ==[/tex] 的特征根都是纯虚数;3) [tex=3.5x1.214]kePI5SUwTOUcyZnmRV2Ep1OrfmgdKBaQ/84vMQv9BMA=[/tex] 当且仅当 [tex=4.286x1.143]80Wj0uAKV+7pqHZEfv32mPI23ILOBLq3IKynnNCFOURqLDiirzP1JdUlbdFmI9kX[/tex], 且 [tex=0.786x1.0]PutU1cWdyHyySBp7YfCWhQ==[/tex] 的特征根的模为 1 .