设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]均为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称阵，其中 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正定. 证明: 当实数 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex]充分大后, [tex=2.714x1.143]Q5uaM41Yzr+Okr19RK07xg==[/tex]亦正定.
举一反三
- 设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]均为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称正定矩阵，证明: 如果[tex=2.286x1.143]t7MnLwUVtUaEIXH0lrj5CA==[/tex] 正定，则 [tex=4.214x1.357]rysVOh2/INqRc+V5bilDiw==[/tex] 亦正定.
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证:(1) 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可逆, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl/jgx7HDqG8OMKcZZrhVcXy6+JovSSXitpjCbh6SDQEN[/tex](2) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为半正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl8wUbDZMgCOnJA1lQifZKR+Dh2C+JkyFhRzqn66dyW91[/tex]
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, 若对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维非零实列向量 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex], 总有 [tex=4.143x1.214]llbZOzaSxsy88gIN6zZS7XSC62cY4voQ0PZXa9I1yOo=[/tex], 则称 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为亚正定阵. 下设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 都是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶亚正定阵, [tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex] 是正实数, 求证:(1) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是亚正定阵的充要条件是 [tex=2.571x1.286]hTkVgseCfVyG3CpmN2i9umj6RIPC/RC6hUw9y1wDYOo=[/tex] 是正定阵;(2) [tex=8.429x1.429]qkVfeKzMFQljRCkvkYjBocoW0SmIGmchDjv2AWYo84uA9hdfp0ylP72pc/tnRAu5[/tex] 都是亚正定阵;(3) 若 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶非异实矩阵, 则 [tex=2.5x1.143]NG5DOe/S5ZBvb+Wli+5nT0c7N/+Cq6b0Efr0+CJQRaY=[/tex] 是亚正定阵;(4) 若 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是对称矩阵且 [tex=2.286x1.143]iJ/kX6H3zlNBT5gr/UbiHQ==[/tex] 是亚正定阵, 则 [tex=4.214x1.357]t/PHzFoVTK0rx/Hr20JwvZrBq3O0wbfTPk8CIGQ1as8=[/tex] 也是亚正定阵.
- 设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称矩阵, [tex=2.286x1.143]t7MnLwUVtUaEIXH0lrj5CA==[/tex] 也是正定阵且 [tex=4.143x1.214]vWxSazeVfknbaCzVb2iP3Q==[/tex]求证: [tex=3.143x1.357]TPJBIxqU6vO17u2K0rjqfA==[/tex] 也是正定阵.
- 设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定实对称矩阵, 证明: [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex] 可对角化.