举一反三
- 1. 函数$y=\arctan x$在$x=0$处的$3$阶导数值为______ 。2. Legendre多项式${{L}_{n}}(x)=\frac{{{\text{d}}^{n}}[{{({{x}^{2}}-1)}^{n}}]}{\text{d}{{x}^{n}}},\ n=1,2,...$,则${{L}_{2}}(1)=$______ 。3. 若$f(x)={{x}^{2}}\cos x$，则${{f}^{(50)}}(0)=$______ 。
- 函数\(f(x) = x^2,\; x \in [-\pi,\pi]\)的Fourier级数为 A: \(\frac{\pi^2}{3}+4\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \sin nx ,\; x \in [-\pi,\pi]\) B: \(\frac{\pi^2}{3}+4\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx ,\; x \in [-\pi,\pi]\) C: \(\frac{2\pi^2}{3}+4\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \sin nx ,\; x \in [-\pi,\pi]\) D: \(\frac{2\pi^2}{3}+4\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx ,\; x \in [-\pi,\pi]\)
- 函数$y=\ln x$的$n$阶导数为 A: $\frac{(n-1)!}{x^n}$ B: $\frac{n!}{x^n}$ C: $(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$ D: $(-1)^n\frac{(n-1)!}{x^n}$
- 11. 设函数$f(x)=({{\text{e}}^{x}}-1)({{\text{e}}^{2x}}-2)\cdots ({{\text{e}}^{nx}}-n)$，其中$n$为正整数，则${f}'(0)=$（ ）。 A: ${{(-1)}^{n-1}}(n-1)!$ B: ${{(-1)}^{n}}(n-1)!$ C: ${{(-1)}^{n-1}}n!$ D: ${{(-1)}^{n}}n!$
- 下面级数求和错误的是 A: $\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} (0\lt q\lt1) $ B: $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^n}} = \frac{x}{1-x} (|x|\lt 1) $ C: $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{{n!}} = e $ D: $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^n}} = \frac{1}{1-x} (x>1) $
内容
- 0
若函数y=f（x）的导数y′=f′（x）仍是x的函数，就把y′=f′（x）的导数y″=f″（x）叫做函数y=f（x）二阶导数，记做y（2）=f（2）（x）．同样函数y=f（x）的n-1阶导数的导数叫做y=f（x）的n阶导数，表示y（n）=f（n）（x）．在求y=ln（x+1）的n阶导数时，已求得y′=1x+1，y(2)=-1(x+1)2，y(3)=1•2(x+1)3，y(4)=-1•2•3(x+1)4，…，根据以上推理，函数y=ln（x+1）的第n阶导数为___．
- 1
当$x\to 0$时, 若${{\text{e}}^{\tan x}}-{{\text{e}}^{\sin x}}$与${{x}^{n}}$为同阶无穷小量, 则$n=$（）。 A: $1$ B: $2$ C: $3$ D: $4$
- 2
已知()y()=()ln()x(),则()y()(()n())()=()。A.()(()−()1())()n()n()!()x()−()n()"()role="presentation">()(()−()1())()n()n()!()x()−()n();()B.()(()−()1())()n()(()n()−()1())()!()x()−()2()n()"()role="presentation">()(()−()1())()n()(()n()−()1())()!()x()−()2()n();()C.()(()−()1())()n()−()1()(()n()−()1())()!()x()n()"()role="presentation">()(()−()1())()n()−()1()(()n()−()1())()!()x()-n();()D.()(()−()1())()n()−()1()n()!()x()−()n()+()1()"()role="presentation">()(()−()1())()n()−()1()n()!()x()−()n()+()1().
- 3
将\(f(x) = {1 \over {2 - x}}\)展开成\(x \)的幂级数为（ ）。 A: \({1 \over {2 - x}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { { { x^n}} \over { { 2^{n }}}}} \)，\(( - 2,2)\) B: \({1 \over {2 - x}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { { { x^n}} \over { { 2^{n }}}}} \)，\(\left( { - 2,2} \right]\) C: \({1 \over {2 - x}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { { { x^n}} \over { { 2^{n + 1}}}}} \)，\(( - 2,2)\) D: \({1 \over {2 - x}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { { { x^n}} \over { { 2^{n + 1}}}}} \)，\(\left( { - 2,2} \right]\)
- 4
函数$f(x,y)={{\text{e}}^{-x}}\cos y$在点$(0,0)$处2次Taylor多项式为 A: $1+x+\frac{1}{2}({{x}^{2}}-{{y}^{2}})$ B: $1-x+\frac{1}{2}({{x}^{2}}-{{y}^{2}})$ C: $1-x+\frac{1}{2}({{x}^{2}}+{{y}^{2}})$ D: $1+x+\frac{1}{2}({{x}^{2}}+{{y}^{2}})$