将一枚完全对称的硬币接连掷[tex=3.643x1.286]HDudqTAH7A1NG9iuGMNYwtz9u+zC8HPiad+te5/vMjI=[/tex]次，以[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]表示事件“正面最多出现一次”，以[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]表示事件“正面和反面各至少出现一次”，证明：(1)当[tex=2.357x1.286]+3yUj3dXcv6lAobFR7XOtQ==[/tex]，[tex=0.5x1.286]AO16NTt3MKb6K8RJQb3PEw==[/tex]时事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]不独立；(2)当[tex=2.357x1.286]GO8PI8FHQHCYibiedb26/Q==[/tex]时事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]独立．
举一反三
- 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]是任意二事件，证明：若事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]相互独立而且不相容，则[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]中必有一个是0概率事件．
- 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]表示三个事件，试将下列事件用[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]表示出来：[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]都发生，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]不发生。
- 假设事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]两两独立，证明事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]相互独立的充分必要条件是事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=2.786x1.286]2yJokmMr/skrgWppU1gw3g==[/tex]独立．变式：可以证明：若事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]相互独立，则事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]两两独立，而且其中任意一个事件与其余二事件的和、差、交都独立，并且逆命题成立．
- 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]表示三个事件，试将下列事件用[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]表示出来：三个事件中至少有两个。
- 设事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，以及[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]独立．证明：若[tex=2.929x1.286]aMsKYrTCLRLdIIhy2wPwxAmfhQORGi2SZfP7vFm0m8s=[/tex]，则[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与 [tex=2.786x1.286]2yJokmMr/skrgWppU1gw3g==[/tex]独立．