将一枚完全对称的硬币接连掷[tex=3.643x1.286]HDudqTAH7A1NG9iuGMNYwtz9u+zC8HPiad+te5/vMjI=[/tex]次，以[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]表示事件“正面最多出现一次”，以[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]表示事件“正面和反面各至少出现一次”，证明：(1)当[tex=2.357x1.286]+3yUj3dXcv6lAobFR7XOtQ==[/tex]，[tex=0.5x1.286]AO16NTt3MKb6K8RJQb3PEw==[/tex]时事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]不独立；(2)当[tex=2.357x1.286]GO8PI8FHQHCYibiedb26/Q==[/tex]时事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]独立．

2022-07-25

将一枚完全对称的硬币接连掷[tex=3.643x1.286]HDudqTAH7A1NG9iuGMNYwtz9u+zC8HPiad+te5/vMjI=[/tex]次，以[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]表示事件“正面最多出现一次”，以[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]表示事件“正面和反面各至少出现一次”，证明：(1)当[tex=2.357x1.286]+3yUj3dXcv6lAobFR7XOtQ==[/tex]，[tex=0.5x1.286]AO16NTt3MKb6K8RJQb3PEw==[/tex]时事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]不独立；(2)当[tex=2.357x1.286]GO8PI8FHQHCYibiedb26/Q==[/tex]时事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]独立．

答案：

证：以[tex=1.286x1.286]y2N1UNhxnRS5USleRbVBUQ==[/tex]表示“将硬币掷[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]次正面恰好出现的次数”．显然随机变量[tex=1.286x1.286]y2N1UNhxnRS5USleRbVBUQ==[/tex]服从参数为[tex=3.0x2.357]CWDQjZuHSXvwNNX/B5UdwEnrCgfP+q0z9sTsCsxb/XTgCCLw7FU7bsjdg+gkvvrQ[/tex]的二项分布：[tex=8.786x2.0]NCPg4q6haKmqKb1cnb4g9xWflsM2+7fhFm0ZZWqWiJ4eyqyBEQlkfpuWyHQaIKSmEpSInJmiCq6vf7gZ1qdzyQ==[/tex]．其次，有[tex=11.357x1.286]/I0y9s8+c5RiaDM534wXMwgLU5FZzShMksTsiowtnYaXwO3N7VnFJIKFJVEn9MhGGk5hgdo4M7irxLihFmJcmw==[/tex]，[tex=11.429x1.286]EgSz9c5YO880pGWujvgr+608zU6V4nFc3WPrwb45GWZM2ZV96m0Mr+IJw5G9Ri/NdWRedx5YCXs7ldV4VknGeA==[/tex]，[tex=11.5x1.286]SrAM0d9hx3oofE2sC6ErnkB9eCeAMl/tTM/Z0Q8CZjZ6uf66H6xZMgMMuamyjSUPYBgCL0gY337dOs7e66DiOA==[/tex]；[tex=14.714x1.286]L1TgsZugcNKriELkoI/4AZzz2bcgIhh6EbxUcL6Sl+6cnSpENL9A0iHbDplicUWFaZyp2HnAtgohRawN5NmKsw==[/tex][tex=8.429x2.0]p+phzdGqUFrRufHfq95zp5bvw1atrao7qt9KAAbdGuFZqsCw1mCk8ukuhQ9KkYIgM+IY7PSERfESUN7R64keqA==[/tex]；[tex=16.5x1.286]8nwaB1GZZhXGg/kzMdxcHq7UQEUuFdVSxtbggdCPLGp/52xj0hfIGRNliEANJSB3MqimfIIFvSHKOzGDaJMkGg==[/tex][tex=4.857x2.0]nUSlKB4eRf8FQBQE7X9dIKPdAXI90Eg+oLmHs0Izeyc=[/tex]．由于[tex=6.857x1.286]yNNqJW54z0zyQ+wJP8mqUXUsHTpY5JP/YHdj7T1goiY=[/tex]，可见[tex=11.786x1.786]q6RMxwFBkSdfyRHYZzWx/8EAAFGWhSxZzNpkU/glQ8f4okjFFFfdlr2DQXCrP1+OwqI9b76VXZHZi9Meeci25w==[/tex]．事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]独立，当且仅当[tex=8.857x1.286]vf4xb3601XNL4QQYsmMkLJFkkJBKXw4ulyFtq+Gsh/E=[/tex]，即[tex=10.357x2.357]9RJslDa6lScFSIzr2jVjwzXYPdpmlWpYFmyDXuC0l7/VFG2F6AvNO1wDsEHlaviwmgYPC7RjijXKHldDUIu0daXqhJz8lRbZylvTEuBolPM=[/tex]，由此可见，事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]独立，当且仅当[tex=5.5x1.286]2AvPiVpgK8FGEWI/sPP3Ddkhvn02+sEYA8cj0Z8Nlmg=[/tex]．由于上式对于[tex=2.357x1.286]GO8PI8FHQHCYibiedb26/Q==[/tex]时成立，故当[tex=2.357x1.286]GO8PI8FHQHCYibiedb26/Q==[/tex]时事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]独立；但上式对于[tex=2.357x1.286]+3yUj3dXcv6lAobFR7XOtQ==[/tex]和2时不成立，从而当[tex=2.357x1.286]+3yUj3dXcv6lAobFR7XOtQ==[/tex]或2时事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]不独立．于是，事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]的独立性与掷硬币的次数[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]有关．

举一反三

内容

0
设事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，以及[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]独立．证明：若[tex=3.571x1.286]sm+ubH8D05A2CZ7dGt1f//mPnTBBOrHzlWsagGHJR2U=[/tex]，则[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=2.786x1.286]Kp1ichsk62aQfsLW5xkZZg==[/tex]独立．
1
插图中正方形[tex=0.714x1.286]1YkIdjxXLHdjdjLEO+eusQ==[/tex]的面积等于1，[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]是[tex=0.714x1.286]1YkIdjxXLHdjdjLEO+eusQ==[/tex]的三个区域. 现在向[tex=0.714x1.286]1YkIdjxXLHdjdjLEO+eusQ==[/tex]上均匀地郑随机点，以[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]和[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]分别表示事件：随机点“落人区域[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]”，“落人区域[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]”和“落入区域[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]（阴影部分）”．证明：事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]独立，但是事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]关于[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]并不条件独立．[img=276x265]178e06371b7d014.png[/img]
2
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]表示三个事件，试将下列事件用[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]表示出来：三个事件中至少有一个发生。
3
证明事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]相互独立，假设满足下列条件之一：事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]至少一个的概率为0或1．
4
证明：对于任意二事件[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，下列等式都是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]独立的充分必要条件：[tex=6.857x1.286]ZHBIcdqLaRQAMX7vElnpnaAu21/JOGvsgv/vdsglW1Y=[/tex]．