设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次不可约多项式. 证明：域[tex=4.929x1.357]njosFGDO7yvJFVSOTQJupg3OOMyVps/xfdnFE6MhqbY=[/tex]中的每一个元素都可以惟一地表示成[p=align:center][tex=16.143x1.5]zQdyJRLizma4ddoPjtTsQbUeTnBBFPQDleICij4IJfuVTEg231F6ecvf2oa3hp1tBjTVvzhBhTzt+rNDtZZ4sr5+/vz3wC836E6VsnpPjAA=[/tex]

2022-07-23

设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次不可约多项式. 证明：域[tex=4.929x1.357]njosFGDO7yvJFVSOTQJupg3OOMyVps/xfdnFE6MhqbY=[/tex]中的每一个元素都可以惟一地表示成[p=align:center][tex=16.143x1.5]zQdyJRLizma4ddoPjtTsQbUeTnBBFPQDleICij4IJfuVTEg231F6ecvf2oa3hp1tBjTVvzhBhTzt+rNDtZZ4sr5+/vz3wC836E6VsnpPjAA=[/tex]

答案：

证：[tex=4.286x1.357]8TNPltBosb8qYi8fkNDdDA==[/tex]，令[p=align:center][tex=9.714x1.286]fTp+JDUy3u+3iNAwzEqfwF9nfjKcxuzuY0q2v93hN3I=[/tex]，其中[tex=12.929x1.5]vq6I6GKDKpWaPRk5TsNtTkkBPdTfH4xlNmNhlprzuTMfKmSsxMtMxIGfBoDyFeYc[/tex]则[tex=8.0x1.429]dP48I7GY7TqEJBVnUMjDOaBu0vFgHYJt3ccXkCMHmdUmAlP02hB4m1w7EsUcP+9I4AOuuYCGM1tmnblj8NfWtQ==[/tex]有[p=align:center][tex=8.786x1.286]TmSD6XRtmBxe9pJhhYgaFDkP1KU/KobR+UIfTOzmb6PdTnc4AUZDjkoGHP4C4JpH[/tex][p=align:center][tex=11.286x1.286]KdVtt+a+ZRTNJnvtD4kPNU8Vv93yiJYUYrcpGEFXEA75U441Jb/UMNiB8V/Naz3V[/tex][p=align:center][tex=6.786x1.286]rQsolyPIdqisHRf2lAO4Q6jVBMEUJZpODXQYSq2GvWYrRl7VwqgxDFhgfqn1gDrP[/tex]下证表示法惟一.设还有[p=align:center][tex=14.714x1.571]Ef0cqeFIO3BQbVFAaI2FPO1VlwtZ0z1MfghFzlAKxtMtTc3hk3SkaeDt8PAjPWJO9Blq8H/In8mefenoKDJnzQHj8ZsrFiWdFne6kPlARZ8=[/tex]则可得[tex=22.429x1.5]37Qf3TtVuMBsSGwrXsxBrWiBVBQpyu99VroLc7Xvl3j/F2dD3mPLQpHT9d/VHe4WDuVx/SP7u6w+41QF0Kejxx0tIfvwe5+nP2Ouva3EzxXQS1wPN+qUq8XVyVHUIKgFag7F9koWwYCBgr0SwfXu2rrIOtXOc3JmY4uW2/ilAx4=[/tex]即[tex=22.5x1.571]YFF97XORjYYbHYDhbHHeVA+xXkBNjFoy6TGVSuW1LSI/a1U76LjBs1Y83kCNDySuj3d2Y8NKZhNLpGWo9Xoy/0rWoq4qag93DbvDS1uhxIpqmjppI6dRuNto+DMGVNqhiirzvntB1VzHnMwmL4iTTkobzts8PO0ZeHSwKb9y5F8=[/tex]，又 [tex=4.929x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe/9GDCAwxQZ3Qsk4PUntgGwo=[/tex]，于是必有[p=align:center][tex=20.429x1.5]God++WxjyHg9bOcXy9u85EVW12DcCmczzTea0mRisQ7HvX4DieV3JuYGhQkLv5wczpFZfpC9RhtRTm6YbckuldOriS6v8EYLuxCUixP6J7nSZmuMGUyTpUmMcAOOkEIhbG9ycRP1sbNvl9ah9Bsp4g==[/tex]故[p=align:center][tex=9.5x1.357]YHmDl5c/wCX0bUAFJjgTLVJapYRxkHafcAmpPWpG8GJXOzSj8dxU7N1LUeWu8cI0[/tex]所以表示法惟一.

举一反三

内容

0
对 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的不同值，分别求出循环群[tex=1.143x1.214]StMMJ6qThnpokZJIPGrdFyP3vrLnUdltYxmLxjw8za8=[/tex]的所有生成元和所有子群。(1) 7; (2) 8; (3)10 ;(4) 14 ; (5) 15 (6) 18 。
1
6个顶点11条边的所有非同构的连通的简单非平面图有[tex=2.143x2.429]iP+B62/T05A6ZTM0eeaWiQ==[/tex]个，其中有[tex=2.143x2.429]ndZSw3zT0QTOVLVdoUto1Q==[/tex]个含子图[tex=1.786x1.286]J+vVZa2YaMpc6mJBbqVvWw==[/tex]，有[tex=2.143x2.429]lmhx48evnQMhi03NovPXig==[/tex]个含与[tex=1.214x1.214]kFXZ1uR8GjycbJx+Ts2kyQ==[/tex]同胚的子图。供选择的答案[tex=3.071x1.214]3KinXFh3SXhZ7nIe1y9KEV6aadxhhJWeEy6Dij1iObdMUZkY6ZA5J2dVVjPSuhEf[/tex]：(1) 1 ;(2) 2 ;(3) 3 ; (4) 4 ;(5) 5 ;(6) 6 ; (7) 7 ; (8) 8 。
2
设[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]是一个素数. 证明：对任何正整数[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]，都存在一个在域 [tex=1.071x1.286]bM7qNVIctMbDn6oefl1jzg==[/tex]上不可约的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次多项式.
3
设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的不可约多项式, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的多项式. 证明:若 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的某个复根 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 也是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根, 则 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex], 特别地, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的任一复根都是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根.
4
设[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]是数域,[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=1.786x1.357]XNwvh6oAC/IkoJ7YsjifhA==[/tex] 中的不可约多项式, 证明: [tex=2.643x1.357]s77srgHg2q+dcA77kPPlkg==[/tex]是[tex=1.786x1.357]XNwvh6oAC/IkoJ7YsjifhA==[/tex]的极大理想.