设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续,在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导, 且有 [tex=14.143x2.857]w860btLz1UC8W3Uga5vE2nuM2DliGvwpTXjs/fnxGy3ebSYOhg+GApL86m3JEMPogUvvmUQgiLLY31V08twhPu1Ojk0GUXt8PTgUvA6Ro4wUqgNQ0TRZP/i9KWickrlR[/tex]求证:在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内至少有一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex],使得[tex=7.071x1.429]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRyvM+ony9UavIkw0nCYFUsJ3dnpnZ7qUsOQMtH9tkRfQM[/tex]

2022-07-23

设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续,在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导, 且有 [tex=14.143x2.857]w860btLz1UC8W3Uga5vE2nuM2DliGvwpTXjs/fnxGy3ebSYOhg+GApL86m3JEMPogUvvmUQgiLLY31V08twhPu1Ojk0GUXt8PTgUvA6Ro4wUqgNQ0TRZP/i9KWickrlR[/tex]求证:在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内至少有一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex],使得[tex=7.071x1.429]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRyvM+ony9UavIkw0nCYFUsJ3dnpnZ7qUsOQMtH9tkRfQM[/tex]

答案：

证 由[tex=19.429x2.857]NY7oodrirBbiImTnksGISdV9Vt2ta6VRjj4f1/e/8w1pXTfy3XFKch9EpjeDuS4DLGGn1Mii6cQEEtQnl2LZJOAT7HoIExbH+1oZ/Uij6mpwoD6x+qLBKE/FGXBt82TA++2aun5X3sCCOLx74mYJOR3L9+VOdN9ovFiyFVswqW0=[/tex]对上面的右式应用积分中值定理,[tex=4.0x1.357]h+DoX3yR+uX3a4PzZOhW1nfNBvm2Ury9jgSUtRuLWEk=[/tex]使得[tex=15.357x2.857]Sl/J89q66PwnUtkWBjkD+kKkcnRFC/GUv8uhvWYPcOCWTHgIfgMUcs1lTmuqPrh11aA0u411zUlJ9smdvHbRcw==[/tex]于是 [tex=9.357x1.357]axLLWGhgwL/lLSJqI78XFuJwUgVeX1C5eA/gXcSA2x8=[/tex]取辅助函数[tex=8.5x1.429]EZaIMt63Zf3K6JOMvNWdrgcThVYhHk5p0YeIxzzvTjPveLWj/1UOr1Y7KavR7LVG[/tex]则[tex=6.143x1.357]F2SHlsUwmGn2JFONNTLr8Q==[/tex]且 [tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex]在[tex=1.857x1.357]NOX47TfjjlWRj28FBiG6nQ==[/tex]上连续,在[tex=2.214x1.357]isTn0b6YEZvNB1FgSLYvPA==[/tex]内可导,应用罗尔定理,[tex=6.929x1.357]qjEtD3vzPIRqrUhUutXCuSqis8ZgINOxEemvGm7fkMJmONBoK/+sw6Hx903Xlbyj[/tex]使得[tex=3.786x1.429]xCCpDEeSVerSHsWtB5kRLrBPd9Kz5WDdMykTYCb9c/U=[/tex]因为[tex=13.429x1.429]c/fRLveTI7u8xkZcJ/PHmRKKYc5aJIymWdMaIgG45nYqDZ2VoDPAELFpovYNoejrp1rPMhz0zBEZZkAQVAl7IJ2l3+T5DJ1qRyooQ9xGEHM=[/tex]所以[tex=14.071x1.5]xCCpDEeSVerSHsWtB5kRLkJdQZH42sCyFl0+rybumm7N7srHUq3OK07diR55LEY+9ebsyUjWElrGOjAVPN49RkMfZ+ZnAe0jszHt1MTcYPA=[/tex] 即[tex=6.857x1.429]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRyvM+ony9UavIkw0nCYFUsJ2bq1Z1MuTQTgmjEcbPNZRl[/tex]

举一反三

内容

0
设非常数函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]stG05jmmIfTHbIvq7S6Sdg==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]+smIHLjIglC7odyb4QS5dg==[/tex]内可导，[tex=4.286x1.357]EpQjgSEuzGk8AwZOaXQY7A==[/tex].证明在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex]，使得[tex=3.929x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOiXPSOg7ONsZQpjXR57q+HI=[/tex].
1
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导[tex=5.214x1.357]AVFKOLSdVhcnohDkv1+6qw==[/tex]证明: 在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内至少有一点 [tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex], 使得 [tex=12.643x1.571]S3IVob1zesjaIa3eDm+Jf9cIKAW48GTVLbAWq0qEutN3ND/uFlJQqMDgw077SM9OcapPx9gVfUovwUPXwTK3rg==[/tex]
2
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导,证明: 在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.214]qqpHxP43oSTaBTohjVBA4g==[/tex]使得 [tex=11.429x2.5]G6iT5PwDUgfpVKfTn6zZJGq2U4kHdsBukmT86qP9BOAu2gg9pK88T0fMrQyFpPHflUhjXEa3oUR6Fxkuajchbg==[/tex].
3
设函数 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex], [tex=1.857x1.357]4AsehPcyFJurfSXX5VJeww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 上可导,证明在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex],使得[tex=16.357x3.357]TIwZYBkNsy31H1RNd/OloGwhon3PLsTPvn7sytr2L+uLAHYERxi/0oHfksb4/AEzUgrm650IFrAwf4M3g2sMJgsRqRDrTXfO4PHg8T3E2jPHC+RcbJxEN0TuCnJeiaqk2cHQo6UwUWDTn7J/KmXyM56rCnendRJ6vUsfe2Y42fscaUvJ9DCQ2587S0fTjnY2+mH0vn4eFSSTETk+Hq43FaCAor4+rQVp1oDl3CKXrMY=[/tex]
4
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]和[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导，且[tex=6.714x1.357]mMYUeNAe38X+/GvdLKmvRw==[/tex]，则[tex=10.0x1.429]BOXEzuhVMucQckW13ygVY8JTh2xCaqQTYWN/JsobNoDVoIPzlYS/nwzbAZk73+Oa[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内有解。