设[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为有界闭区间[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的连续函数，证明：（1）存在严格单调减的多项式序列[tex=2.143x1.286]kEVamP1n+dSuT3obt6qedLSWB5FYn+OZG9N822YuJYc=[/tex]，它在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上一致收敛于[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] . （2）存在严格单调增的多项式序列[tex=2.143x1.286]kEVamP1n+dSuT3obt6qedLSWB5FYn+OZG9N822YuJYc=[/tex]，它在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上一致收敛于[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] .
举一反三
- 设 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在有界升集 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 上一致连续, 证明:(1) 可将 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 连续延拓到 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 的边界.(2) [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 上有界.
- 设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]为有界闭区间[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的连续函数 . 证明：[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]允许有理系数多项式一致逼近 .
- 设二元函数 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在区域 [tex=7.286x1.286]DEawDCtxvKMUgntwap6boRvky2yXt94gRQyX19qGHTo=[/tex] 上连续.(1) 若在 [tex=2.143x1.286]IbSGxJCVXcmxQMs78bEk2Q==[/tex] 内有 [tex=2.786x1.286]/wtM5zB+VFAX2NiyFO+8OJMztSYCXUDt1XOZVA/6HdA=[/tex],试问 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 上有何特性?(2) 若在 [tex=2.143x1.286]IbSGxJCVXcmxQMs78bEk2Q==[/tex] 内有 [tex=5.0x1.286]2bqhrRcL7sOLLA8bbNN1ilrOk+YdM534HOulDe99JRs=[/tex], [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 又怎样?(3)在(1) 的讨论中,关于 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?
- 设 [tex=2.857x1.286]tj1rvgP4AHIdbrLux0kAEQ==[/tex] 定义于闭矩形域 [tex=6.929x1.286]JyGyRy+hyV7lwTESv8XFUzY1qFL+aRyepgIRw7xfGt4=[/tex], 若 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 对 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 在 [tex=1.857x1.286]TaQDUPTPF82mJndYOqgzrA==[/tex] 上处处连续. 对 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上(且关于 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex])为一致连续, 证明 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex] 上处处连续.
- 设[tex=2.357x1.286]JOAiX+8IZV6cGOin/+rSbA==[/tex]是函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]关于互异节点[tex=6.357x1.286]DtVrMvUvhcaHxFnbOPDyTSGoDUZ/XVz2J8YouF61a1bFLHV/6ZVdaaNPTtPnEzKr[/tex]的不超过[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]次的插值多项式。若[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在区间[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上任意次可微，且存在常数[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]，使得[tex=5.857x1.286]EOrYLFXGWE8q1QqlRhriLUCtxEXycZJQJBr//GP5g0A=[/tex]，[tex=4.143x1.286]2Z2ENzmpmwfnhDSMuIyGwzwuXJtfyxPYZrjs5JdpVQk=[/tex]，[tex=5.714x1.286]KUNaAv6G/fE8miWL44en+FHvYyzmy5iUNo3+CYhXqEg=[/tex]试证明插值多项式序列[tex=4.786x1.286]KsA+Z4D6turs1EWbYmdmleKdpbxZpupXt/JwEWwoWQA=[/tex]在区间[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上收敛于被插值函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]。