设 [tex=2.857x1.286]tj1rvgP4AHIdbrLux0kAEQ==[/tex] 定义于闭矩形域 [tex=6.929x1.286]JyGyRy+hyV7lwTESv8XFUzY1qFL+aRyepgIRw7xfGt4=[/tex], 若 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 对 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 在 [tex=1.857x1.286]TaQDUPTPF82mJndYOqgzrA==[/tex] 上处处连续. 对 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上(且关于 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex])为一致连续, 证明 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex] 上处处连续.

2022-06-02

设 [tex=2.857x1.286]tj1rvgP4AHIdbrLux0kAEQ==[/tex] 定义于闭矩形域 [tex=6.929x1.286]JyGyRy+hyV7lwTESv8XFUzY1qFL+aRyepgIRw7xfGt4=[/tex], 若 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 对 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 在 [tex=1.857x1.286]TaQDUPTPF82mJndYOqgzrA==[/tex] 上处处连续. 对 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上(且关于 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex])为一致连续, 证明 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex] 上处处连续.

答案：

证: 设 [tex=5.0x1.286]cSjGHqCnItShrO6H41ZST2dycahg4v7ebYtiGECBuQk8vS98xJzXRzwbpvSk5uc/[/tex], 对固定的 [tex=1.0x1.286]5PBm7Rex1+3Bx6Y1vbx1pg==[/tex], [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 为 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 的连续函数, 故对 [tex=2.786x1.286]joguGSInidzw2xc+WzmvAZad/jjxgQdNyh+mayOOv3Y=[/tex], [tex=3.214x1.286]Ak5V7FpbQo0sWJG4fyE1vCQOx5nFpt057JvkVyPZ8WQ=[/tex], 当 [tex=5.286x1.286]EnqcyTzBittJ8bja/ydzsYAJxSmmMSET5JwVTnILY2c02okRPrQlwH+viatIiryD[/tex], 且 [tex=4.571x1.286]cSjGHqCnItShrO6H41ZST9xEaugF7Sb3zhOhvbaleqB8rAqtxjJzva5B9fZT1/GX[/tex] 时,有[tex=11.214x2.143]WW/buNYpkSzaNMH38xyyiPgvLeg9Qt7iB8Nq8NI5+cZ6AwIOILqDRyP2bOH0QX4SIo2R5TqDTE8OtLfg4EkSQ7Gi17M+WVzRXXca7C1XzeusK9+g5iEP37AZonSCXzM6[/tex]又由 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 对 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 关于 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 为一致连续. 故对上述 [tex=2.286x1.286]agbj3VZO5e3/0KnI5wCMSKLl3aP3w8IOLV//cMDwSdM=[/tex],也存在 [tex=2.714x1.286]R1Jj7GKQAal31S3xWAYo+kWGqyGEwJebD+uOAGotrag=[/tex], 对满足 [tex=5.286x1.286]EnqcyTzBittJ8bja/ydzsYAJxSmmMSET5JwVTnILY2c02okRPrQlwH+viatIiryD[/tex] 的任何 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex], 只要 [tex=5.429x1.286]+MU+B/CvRtOkgbyuBZk45B+5nsMK/D/avHz/GYBZVHncngQzEwpjC5WfCr9v3DJN[/tex], 且 [tex=4.143x1.286]pWx0Jy1lN3sYrXDytqmsIRRRcCul1qNC4ft33klo4bk=[/tex], 使有[tex=9.929x2.143]z7b6x5gCBsjRXKharNi2UcAj2MKNgV+7iUKAyzwA5dgRxuGWb2X9+YvoLwE3jA/DelcE0SAKKwc+W+qqx9RTmRqSAkD2/e95APBXDr64/Ek=[/tex],现取[tex=6.643x1.286]whc5y+bVb2gvP9xKLfmDAhcb/3jY5YOpXd0c3YeAlSM/VUIKEzTSKV19vdH6cwiNytwoEcyLm+sKaEsftHb+dw==[/tex] , 只要 [tex=5.071x1.286]+MU+B/CvRtOkgbyuBZk45P0twI2ZrsZUsGSh2qy0QeTWXHxTxa/04zBIcOCGJjhq[/tex], [tex=4.929x1.286]EnqcyTzBittJ8bja/ydzseB2fFyEaAOxu4KUaNaQR3wHG7dIu20kQFbnQMA+5SLU[/tex], 且 [tex=4.143x1.286]pWx0Jy1lN3sYrXDytqmsIRRRcCul1qNC4ft33klo4bk=[/tex] 时,总有[tex=19.143x5.357]rZM5/OPAdr7aX+kNl9iwpIsk7c6C0kyNg7SSOVF/6I7HEjMMv4Nu9+EA/SgnmpG0vSsMCQ6rDsDZrqSHWQS5/IylJwo1kL2ehvkCsTadLSCradmPpnw1el0I88Zv0Mfbjnf1mJa2hwMfWg0oSl65xMUenGwSGbyhQGaU4fDsybT3VStwz1yuIv4A6skzrlIrrPCzzGjGjLAholM0+gzfnmolfyVBhOYxQowjvkgDgX8IMUnuAPpAX/hIwSwM3kEKuzDcZKnDFC5JkkSwICQV/fHSQRZ1we8JtZK8JCFSmfc63tS9ZWACuornbsoPB9BSIhmaiD/dxE9qx+PP9TWvBg==[/tex]因此, [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex] 上连续.

举一反三

内容

0
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]5WiKxiqIs2aMQ1aNQurkGw==[/tex]上连续，[tex=3.643x1.286]K+xSEYxtgmH0spapC90XTA==[/tex]，且对于[tex=1.929x1.286]5WiKxiqIs2aMQ1aNQurkGw==[/tex]上的一切[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]和[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]有[tex=9.5x1.286]kC9id43jzqX0oRCJnCdwQ1169C0BxCZmZur9DJrKjq8=[/tex]，试估计积分[tex=4.571x2.429]KEskdFvxflbt/GW6hsSi7QbV8h0e0k/1UZEEWEOI2Mw=[/tex]的值。
1
若一元函数 [tex=1.929x1.286]W1PBftHxRbnObLt0Fbm2cw==[/tex] 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上连续,令[tex=5.571x1.357]/rwdubLtLJNPC5bDZKMdphEqdn4EaHVyBs4E9TadLUI=[/tex],[tex=5.286x1.286]qmPj+gBfux3NveUSzmzlQfPVnojTHVgSlNUBaePOrPE=[/tex][tex=7.714x1.286]vzztRwjYaaef9/uEoLK0JnQ1Aqz0iF5qnOyd+5slmc8k9NW/jrxF9pBCx2uE4OLR[/tex],试讨论 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 上是否连续?是否一致连续?
2
设[tex=2.857x1.286]tj1rvgP4AHIdbrLux0kAEQ==[/tex]是在[tex=4.143x1.286]uvpjz17QBByQjJgb9H/coHhEwgc2vl967cT7Xeotgjw=[/tex]上有定义的实值函数.对任意的[tex=3.857x1.286]z+juQhaizupDb9ddQDT8/zuapTPH6lnMmOn0LApOPKk=[/tex],设[tex=2.643x1.286]CZihJm/sY5cX9GPKRQ8wnw==[/tex]是认[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]为中心且各边与[tex=0.571x1.286]RM7SKoKhXo5BhokAgZJ3fQ==[/tex]的边平行的完全含在[tex=0.571x1.286]RM7SKoKhXo5BhokAgZJ3fQ==[/tex]内正方形中的最大的一个.如果对[tex=4.357x1.286]NNZ12f4C7fQEcHKmfi3FrCeMSeSb7ku3DkAYNObxQ7I=[/tex],有[tex=9.071x3.0]qJCV9oMuCSSbqVGRrFO0fjEZUxZ26RpUSGMGeJ3aIjk/gxol2pMvZqgAQ1vszqOZKE6+F/ygvoiorA5o8fjMJDxI2ipuEattSm0SLAqTzRHeOZ7JxMBbhqZ+UtZg4yNu[/tex].(1)问:[tex=2.857x1.286]tj1rvgP4AHIdbrLux0kAEQ==[/tex]在[tex=0.571x1.286]RM7SKoKhXo5BhokAgZJ3fQ==[/tex]上恒等于零吗?(2)如果[tex=2.857x1.286]tj1rvgP4AHIdbrLux0kAEQ==[/tex]在[tex=0.571x1.286]RM7SKoKhXo5BhokAgZJ3fQ==[/tex]上连续,证明:[tex=2.857x1.286]tj1rvgP4AHIdbrLux0kAEQ==[/tex]在[tex=0.571x1.286]RM7SKoKhXo5BhokAgZJ3fQ==[/tex]上恒等于零.
3
设二元函数 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在区域 [tex=7.286x1.286]DEawDCtxvKMUgntwap6boRvky2yXt94gRQyX19qGHTo=[/tex] 上连续.(1) 若在 [tex=2.143x1.286]IbSGxJCVXcmxQMs78bEk2Q==[/tex] 内有 [tex=2.786x1.286]/wtM5zB+VFAX2NiyFO+8OJMztSYCXUDt1XOZVA/6HdA=[/tex],试问 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 上有何特性?(2) 若在 [tex=2.143x1.286]IbSGxJCVXcmxQMs78bEk2Q==[/tex] 内有 [tex=5.0x1.286]2bqhrRcL7sOLLA8bbNN1ilrOk+YdM534HOulDe99JRs=[/tex], [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 又怎样?(3)在(1) 的讨论中,关于 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?
4
设函数[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]分别对每个变量[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 连续，且对[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 单调。试证[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]为连续函数。并举例说明，函数 [tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex] 分别对每个变量[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]是连续函数，但[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]不一定是连续函数。