设 [tex=2.857x1.286]tj1rvgP4AHIdbrLux0kAEQ==[/tex] 定义于闭矩形域 [tex=6.929x1.286]JyGyRy+hyV7lwTESv8XFUzY1qFL+aRyepgIRw7xfGt4=[/tex], 若 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 对 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 在 [tex=1.857x1.286]TaQDUPTPF82mJndYOqgzrA==[/tex] 上处处连续. 对 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上(且关于 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex])为一致连续, 证明 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex] 上处处连续.
举一反三
- 设 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在有界升集 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 上一致连续, 证明:(1) 可将 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 连续延拓到 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 的边界.(2) [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 上有界.
- 证明 若[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]在[tex=1.857x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]上可积,且处处有[tex=3.714x1.357]n3f7jwsT3zAd0hiq20ir9w==[/tex],则[tex=6.5x2.857]YQy8o6xXV2vuInKBm3FsStiaiaQI6gQ72PSqKhl23Uw=[/tex](1)若[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]在[tex=1.857x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]上可积,则[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]在[tex=1.857x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]上必定存在无限多个连续点,而且它们在上处处稠密
- 设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上连续、可导且 [tex=3.643x1.286]01iTHaAOWrq6T4dbzAxzlg==[/tex]，若存在正常数 [tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]，使得 [tex=6.929x1.286]dKfAGo3rU9ALC9dg+OnL06RoMzozmczP4A5vbEP9n1rDfwdNfo7cjpfGNpqPBrTi2q32HcmgeEtqKNvDuhfoXg==[/tex]。 证明：在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]恒等于零。
- 设 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 是一元函数，试问应对 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 提出什么条件，方程 [tex=9.071x1.286]PzveF9/U+SEcAYV+oiC5NHUEsTM7AeQgEbctvmhvT+k=[/tex] 在点 [tex=2.143x1.286]OGI1nc8WH38NKUnYUafisA==[/tex] 的邻域内就能确定出惟一的 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 为 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 的函数?
- 设[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为有界闭区间[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的连续函数，证明：（1）存在严格单调减的多项式序列[tex=2.143x1.286]kEVamP1n+dSuT3obt6qedLSWB5FYn+OZG9N822YuJYc=[/tex]，它在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上一致收敛于[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] . （2）存在严格单调增的多项式序列[tex=2.143x1.286]kEVamP1n+dSuT3obt6qedLSWB5FYn+OZG9N822YuJYc=[/tex]，它在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上一致收敛于[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] .