函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上有界是[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上（常义）可积的[input=type:blank,size:4][/input]条件，而[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上连续是[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上可积的[input=type:blank,size:4][/input]条件；

试证，若[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上满足利普希茨（Lipschitz）条件，则[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上绝对连续，反之是否成立？

函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上有定义且[tex=2.429x1.286]+2tK1/05Ik8f9rKJElE7xQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上可积，此时积分[tex=4.5x2.5]23aF9PxAMgrFxPK/7VOIYAHvALVBJ3Hcu3hRq0KHHdk=[/tex][input=type:blank,size:4][/input]存在。

解答下列问题：设[tex=3.286x1.357]j73XNdvMFeeWkOCvqEdaxw==[/tex]是[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的可测函数列，[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的实值函数. 若对任给的 [tex=2.357x1.071]zaTYmiB02c3fW3zvAQdizg==[/tex],都有[tex=17.571x1.786]Q9IYTFR3kTY3iJCCC2wa7yaX2i6vzOPdC4GGGUrQy/6PH+a0MlEhaDf2xYkbsM7WYSicdkrBFaENnzCC97JiiGIjHgrXxKtHQlqbVZ1A+JWyxTRG0hIU3Cb09SjWNDN9R7P7CBCbXGOUri+JFF5fgMWs7Xv3BH8FBzkvtgkgouk=[/tex],试问 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 是 [tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的可测函数吗 ?

设[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为有界闭区间[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的连续函数，证明：（1）存在严格单调减的多项式序列[tex=2.143x1.286]kEVamP1n+dSuT3obt6qedLSWB5FYn+OZG9N822YuJYc=[/tex]，它在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上一致收敛于[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] . （2）存在严格单调增的多项式序列[tex=2.143x1.286]kEVamP1n+dSuT3obt6qedLSWB5FYn+OZG9N822YuJYc=[/tex]，它在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上一致收敛于[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] .

求[tex=4.143x1.286]k07Iof6THIwNZQwfoh/4ag==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的分段埃尔米特插值，并估计误差。

设[tex=3.0x1.286]uy88dPGxTPRl82V63mMN1w==[/tex]在[tex=5.0x1.286]YqH1/TA5rT38hrxtLXp1ZsrQpvZ6fZBPRJIMtcltzDk=[/tex]上连续，[tex=2.286x1.286]NYppJqv/blXPlGQlncwegg==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上连续，且对任意[tex=3.643x1.286]NvSU0Evv5X0Mn23pktkiUm7mnooWj8siWcA9R6/IBpA=[/tex]，令[tex=12.071x2.643]Wi3NsadANuOutivK5yoL/tjIdavb04Y7+e9YhQ5t0WbcBBm8Sab1vzVJiIJN1rpo[/tex]，[tex=4.857x1.286]YPiXln35VbFZwRw1qebPNC/mxvz5Wi8NCIeJXzYWeYc=[/tex] .  证明：函数列[tex=3.357x1.286]emk7uvDBYGMjzMq4RmFEZxD+/ilSQn+brP6l652JoW0=[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上一致收敛 .

设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]为有界闭区间[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的连续函数 . 证明：[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]允许有理系数多项式一致逼近 .

证明：如果可积函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上除有限个点外恒为零，那么[tex=6.286x2.5]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzYavqp4TJwewzATWIiFkufU=[/tex] .

设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上可导，且[tex=7.214x1.286]/mACCuNKnGtl0E0FaWSkbvU2Fq0S2DqZ17ibYvubDLaO5FvmfT5HZIfFbCA8+slr[/tex]，证明：存在[tex=3.714x1.286]asbZPW3YN+S5LA2oFcnF4Q==[/tex]，使[tex=3.929x1.286]0o6buAQ5WD2oecMXnej5rMAV8GQlWyol+ExCq32xFVs=[/tex] .