令[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是全部实数对[tex=5.0x1.357]W7+mtqSlqtV17Wi3u/j7kwz9N+o+qENvjXCtpjJ9CnU=[/tex], 的集合.在 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 上定义乘法为[tex=3.786x1.357]/RmZ+lRtM+EjLLOb6yhDPA==[/tex][tex=10.357x1.357]W+NLSu4u5AfNXzaqaY1KMGXyIXAqEPi2mu+iWLpATAM=[/tex]验证 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是一个群.
举一反三
- 令[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是实数对[tex=4.857x1.286]MwJkkSCZaP5CPhGkF4cg+DM88nv47A2lROcjMtitZhQ=[/tex]的集合,在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上定义[tex=9.643x1.357]ImxnGr+lPngxnUoqv+nNi9BhhcWLuZ7iuUb/XHvB2r8=[/tex].试证[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群.
- 设[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个子群，证明：[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的特征子群，当且仅当对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个自同构[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]都是[tex=3.786x1.357]/hUAIv2XJLX3YXBqW5nP/A==[/tex].
- 下列代数系统[tex=2.643x1.357]ceH+eYnXqUT340bMKzk9Jw==[/tex]中，其中[tex=0.786x1.071]sISe4zlsm5XRzMPtQa+aFQ==[/tex]是普通加法运算，试说明哪几个不是群.（1）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为整数集合； （2）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为偶数集合；（3）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为有理数集合； （4）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为自然数集合.
- 4. 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是交换群, [tex=2.5x1.071]158MTjYs71c+Of+LNCChAQ==[/tex]为整数, 令[tex=8.429x1.357]lu3Yw5dE2d5ihTpR/t9E++lDTZ8qQN724NVjic7baRKYfbXdS1q3daQ14LgXMN/U[/tex], 证明:[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群.
- 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是由6个元素构成的循环群，[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个生成元，则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有______个子群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的生成元是______.