举一反三
- 下列代数系统[tex=2.571x1.357]R3iVefRhsA5hj7KVfEMO2Q==[/tex]中,其中*是普通加法运算,试说明哪几个不是群.（1）G为整数集合（2）G为偶数集合（3）G为有理数集合（4）G为自然数集合
- 令[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是实数对[tex=4.857x1.286]MwJkkSCZaP5CPhGkF4cg+DM88nv47A2lROcjMtitZhQ=[/tex]的集合,在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上定义[tex=9.643x1.357]ImxnGr+lPngxnUoqv+nNi9BhhcWLuZ7iuUb/XHvB2r8=[/tex].试证[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群.
- 令[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是全部实数对[tex=5.0x1.357]W7+mtqSlqtV17Wi3u/j7kwz9N+o+qENvjXCtpjJ9CnU=[/tex], 的集合.在 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 上定义乘法为[tex=3.786x1.357]/RmZ+lRtM+EjLLOb6yhDPA==[/tex][tex=10.357x1.357]W+NLSu4u5AfNXzaqaY1KMGXyIXAqEPi2mu+iWLpATAM=[/tex]验证 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是一个群.
- 设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]作用在集合[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]上，[tex=2.643x1.071]insAGSLpnl0T70r5XKDlCw==[/tex]，证明 [tex=1.071x1.214]91sYrNyVqXJ+xL/dnEQMVQ==[/tex] 为[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的子群.
- 令[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]表示集合[tex=4.5x1.357]b9tt/sYaMnvaGAM2FxuHGg==[/tex]上所有置换组成的集合，指出[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]关于复合映射“[tex=0.5x0.786]ZZdfGN8ROAaru4eGZpmpGQ==[/tex]”的单位元素及[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中每个元素的逆元。
内容
- 0
无向图[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是欧拉图，当且仅当[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]满足下面4个条件中的哪一个？（1）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的所有结点的次数为偶数；（2）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的所有结点的次数为奇数；（3）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]连通且所有结点的次数为偶数；（4）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]连通且所有结点的次数为奇数.
- 1
如果有限群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有且仅有 3 个不同的子群,则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 必为循环群,且[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶数为[tex=2.357x1.0]jFLnBRxb8B7Hy+eXhKLWag==[/tex] 为某 个素数.
- 2
令[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]表示集合[tex=4.5x1.357]b9tt/sYaMnvaGAM2FxuHGg==[/tex]上所有置换组成的集合，列出[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]关于复合映射“[tex=0.5x0.786]ZZdfGN8ROAaru4eGZpmpGQ==[/tex]”的运算表。
- 3
设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个具有乘法运算的非空有限集合。证明: 如果 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 满足结合律， 有左单位元，且右消去律成立，则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是一个群。
- 4
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群，试证[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是幂零群当且仅当[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为其[tex=2.571x1.214]RsM5CifpF+POhNWiEVvU42nb/ga3aKf8w307AuBCqQ0=[/tex]子群的 直积。