设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个非空集合，在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]上面定义了一种运算，叫做乘法，它满足结合律，并且具有下列性质：[tex=1.929x1.071]ITVlQYAW1ynnQfflWXlooKuWeDf7RtBLbijovZsO9qM=[/tex][tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]含有1个元索[tex=1.0x1.0]Jgk1h01OLy8K/lH2cTTzlQ==[/tex]，它使得[tex=2.857x1.0]neysXaNe3og3IT6vF1A9nA==[/tex]，[tex=3.571x1.071]tvpEXn0/FQH/7fw73wkSRVJBPx9CI3xTH9nhg1ceFs0=[/tex]，此时称[tex=1.0x1.0]Jgk1h01OLy8K/lH2cTTzlQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的一个右单位元；[tex=0.929x1.071]GF6lPkbwM1/sKcTXI74B5g==[/tex][tex=1.0x0.286]3n3X4AFDUzKMGdYV2NZd8A==[/tex]对于[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的每一个元素[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]，有[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中一个元素[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]，使得[tex=2.786x1.214]AimtYbyc6RUesLC08gKN6Q==[/tex]，称[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的一个右逆。证明：[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个群。

2022-07-24

设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个非空集合，在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]上面定义了一种运算，叫做乘法，它满足结合律，并且具有下列性质：[tex=1.929x1.071]ITVlQYAW1ynnQfflWXlooKuWeDf7RtBLbijovZsO9qM=[/tex][tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]含有1个元索[tex=1.0x1.0]Jgk1h01OLy8K/lH2cTTzlQ==[/tex]，它使得[tex=2.857x1.0]neysXaNe3og3IT6vF1A9nA==[/tex]，[tex=3.571x1.071]tvpEXn0/FQH/7fw73wkSRVJBPx9CI3xTH9nhg1ceFs0=[/tex]，此时称[tex=1.0x1.0]Jgk1h01OLy8K/lH2cTTzlQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的一个右单位元；[tex=0.929x1.071]GF6lPkbwM1/sKcTXI74B5g==[/tex][tex=1.0x0.286]3n3X4AFDUzKMGdYV2NZd8A==[/tex]对于[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的每一个元素[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]，有[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中一个元素[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]，使得[tex=2.786x1.214]AimtYbyc6RUesLC08gKN6Q==[/tex]，称[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的一个右逆。证明：[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个群。

答案：

证明：任取[tex=2.0x1.071]les28349YCmptlqVVew9iw==[/tex]，由性质[tex=0.929x1.071]GF6lPkbwM1/sKcTXI74B5g==[/tex]，存在[tex=1.929x1.071]VpF7RedPaqyArft1aKwQNg==[/tex]，使得[tex=2.786x1.214]AimtYbyc6RUesLC08gKN6Q==[/tex]仍由性质[tex=0.929x1.071]GF6lPkbwM1/sKcTXI74B5g==[/tex]，存在 [tex=1.929x1.071]SfGt6QuM337d569XPj4dmw==[/tex]，使得[tex=2.643x1.214]onr9T2vN1UT0+IbVWCeq6A==[/tex]。于是由性质[tex=0.929x1.071]buZKswv8GSg4ZQySlQudzA==[/tex]和结合律，得[tex=8.571x1.357]94kRWeFiKiJIM3FRe940uToysrtfJ6Cb2iTzkR2uLxo=[/tex]，上式两边右乘[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex]，得[tex=4.286x1.357]wXLFlReADLDprUiLssVmmg==[/tex]，即[tex=4.571x1.357]5voO/tPfK6lwVv7MRtb+7mZr2Qg/C1dSt4a+TCK1S00=[/tex]。于是由性质[tex=0.929x1.071]buZKswv8GSg4ZQySlQudzA==[/tex]得，[tex=2.786x1.214]/awmRDyS9qR30PRoqeT5ig==[/tex]。从而[tex=11.286x1.357]oasdfl+Y/PHk/QnYOL3abh3LssTP6xMQTgrKb3PNCn9H4VMArchkLIyRO6MojpK/[/tex]，因此[tex=1.0x1.0]7aIi4l22QmVJ4SyMo1VVkw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的单位元，记作[tex=0.5x0.786]TBa/wxVah6IkxUQi/stEBg==[/tex]，上面已证，[tex=2.214x1.0]mSpaMHaVT9312vIWiMNayw==[/tex]，[tex=2.214x1.0]Fd/UUxPPQqE6CgqzryFKsw==[/tex]，因此[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]有逆元[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]。从而[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个群。

举一反三

内容

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由非空集合X的所有子集构成的集合称为X的幂集，记作[tex=1.143x1.214]6fgP1j+0v37iZFMJocAU+g==[/tex].（1）设X={a,b,c}，求[tex=1.143x1.214]6fgP1j+0v37iZFMJocAU+g==[/tex].（2）设X是由n个元素组成的有限集，证明[tex=1.143x1.214]6fgP1j+0v37iZFMJocAU+g==[/tex]中含有[tex=1.0x1.0]j//x0/Z+ltpf5R8ThFOpMA==[/tex]个元素.
1
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元的环. 如果[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=1.286x1.214]rkgrF+YaaESwSQDjR6KfWg==[/tex]有[tex=2.286x1.0]rZ0c/DqUwOwC6KLNVAW7uQ==[/tex]，则称 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的一个右逆元，而称[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]的一个左逆元. 证明卡普兰斯基(L Kaplansky) 定理：若[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]有多于一个的右逆元，则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]必有无限多个右逆元.
2
图[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个顶点，[tex=2.357x1.143]dkoxwOpyXKTw0HsOj3nnBg==[/tex]条边，证明[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中至少有一个顶点度数大于等于[tex=0.5x1.0]/BQKP5E8YnupUQ2sDg7w1Q==[/tex]。
3
设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是群,[tex=5.286x1.071]VvvX0GFuqWNzrMDUrg0hNQ==[/tex].如果[tex=5.929x1.214]WiIhW06O4h8DrzyJYgOSG//n94M5NRQ5+HQkzzjvS5punSAJ99du6II5VrE1GjPb[/tex],[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]是否一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群?
4
设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是带有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个顶点的简单图。证明：[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是树当且仅当[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]没有简单回路并且有[tex=1.929x1.143]odTH0p5clPZMk1jQf4ctjw==[/tex]条边。