设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个非空集合，在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]上面定义了一种运算，称为乘法，它满足结合律，并且对任意在[tex=3.357x1.286]pVHwNKFJ7Q0OjEOSIh66Tg==[/tex]，方程[tex=2.857x1.286]+ggcAk2ChmBLn/GNkrsqfQ==[/tex]在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中有解，方程[tex=2.786x1.286]U9XNqcDw83o/kU7Mi7Iplg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中也有解。证明[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个群。
举一反三
- 证明：在群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中，任给元素[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]，[tex=0.5x1.286]PGyKeLDo0qv9T0n29ldi6w==[/tex]，方程[tex=2.857x1.286]+ggcAk2ChmBLn/GNkrsqfQ==[/tex]有唯一解；方程[tex=2.786x1.286]U9XNqcDw83o/kU7Mi7Iplg==[/tex]也有唯一解。
- 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个非空集合，在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]上面定义了一种运算，叫做乘法，它满足结合律，并且具有下列性质：[tex=1.929x1.071]ITVlQYAW1ynnQfflWXlooKuWeDf7RtBLbijovZsO9qM=[/tex][tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]含有1个元索[tex=1.0x1.0]Jgk1h01OLy8K/lH2cTTzlQ==[/tex]，它使得[tex=2.857x1.0]neysXaNe3og3IT6vF1A9nA==[/tex]，[tex=3.571x1.071]tvpEXn0/FQH/7fw73wkSRVJBPx9CI3xTH9nhg1ceFs0=[/tex]，此时称[tex=1.0x1.0]Jgk1h01OLy8K/lH2cTTzlQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的一个右单位元；[tex=0.929x1.071]GF6lPkbwM1/sKcTXI74B5g==[/tex][tex=1.0x0.286]3n3X4AFDUzKMGdYV2NZd8A==[/tex]对于[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的每一个元素[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]，有[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中一个元素[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]，使得[tex=2.786x1.214]AimtYbyc6RUesLC08gKN6Q==[/tex]，称[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的一个右逆。证明：[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个群。
- 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个群.[tex=2.0x1.071]6eaFNvbNfTsEPFqVDwsSaw==[/tex]，映射[tex=6.571x1.214]wQz4OGfsjBJV5Yp9o6K9IMM6f2LcgvqZTGlGDIjs3e6yjpcJzhXqLWJ8N9uUiFcC[/tex]叫做[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的一个左平移，证明：左平移[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]到自身的一个双射.
- 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是群,[tex=5.286x1.071]VvvX0GFuqWNzrMDUrg0hNQ==[/tex].如果[tex=5.929x1.214]WiIhW06O4h8DrzyJYgOSG//n94M5NRQ5+HQkzzjvS5punSAJ99du6II5VrE1GjPb[/tex],[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]是否一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群?
- 证明:若群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只有有限多个子群,则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是有限群.