设 [tex=9.786x1.357]DmLEtxaAGiYDu+048gV/xQ3T6WdB+HBOrYamskuXjC5hZlBaGC/8tSWqsS1r27JZmxgNaln/RkLBcW7fN0aaGA==[/tex](1) 证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有理数域 [tex=0.929x1.214]ipY8J/5IDyDdvaflKWkPEg==[/tex]的子环;(2) 求 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位群.
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是无零因子环且只有有限个元素，证明[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是域。
- 证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;
- 设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同构, 证明: [tex=1.571x1.429]WwcGTNxNgqKGUcObs50zWg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同构.
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个只有有限多个元素的交换环，且[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]没有零因子。证明[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个域。
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个无零因子环且每个加法子群都是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的右理想，证明[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]或与[tex=1.071x1.286]DZ7X6Hat4w0CSAjsS6ByJA==[/tex]（[tex=0.571x1.0]+NxxLnTh2HAHOCSSr6dlEg==[/tex]素数）同构，或与[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]的一个子环同构。