设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aÎA，存在bÎA，使得ÎR，则R是等价关系．
证明：已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系．
"aÎA，$bÎA，使得ÎR，因为R是对称的，故ÎR；又R是传递的，即当ÎR，ÎR ÞÎR；
由元素a的任意性，知R是自反的．所以，R是等价关系．
"aÎA，$bÎA，使得ÎR，因为R是对称的，故ÎR；又R是传递的，即当ÎR，ÎR ÞÎR；
由元素a的任意性，知R是自反的．所以，R是等价关系．
举一反三
- 证明：如果R是集合A上的等价关系，则R的逆关系也是A上的等价关系．
- 【判断题】设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、对称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系. 设 R 是一个等价关系, 若 ∈R, 称 x 等价于y, 记做 x~y. A. 对 B. 错
- 设R是集合A上的关系，若任意的a,b∈A，且(a,b)∈R，有(b,a)∈R，则称关系R具有______ .
- 设R是集合A上的一个任意关系，R+=t(R)，R*=t(r(R))，证明：
- 集合A={1,2,„,10}上的关系R={|x+y=10,x,y∈A},则下列说法正确的是。 A: R是自反关系 B: R是对称关系 C: R是传递和对称关系 D: R是传递关系
内容
- 0
设R和S是集合A上的任意关系，判断下列命题是否成立?若R和S是对称的，则R*S也是对称的。
- 1
设R是集合A上的关系，若任意的a,b,c∈A，且(a,b)∈R，(b,c)∈R，有(a,c)∈R，则称关系R具有______ .
- 2
给定集合A上的关系R，若R是自反、对称的，则称R是A上的相容关系
- 3
设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________
- 4
若R是集合A上的传递关系，则R2也是集合A上的传递关系（）