[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]是数域[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]上[tex=0.643x0.786]1p65fe6CUUvpZ1I+2NvzNQ==[/tex]维线性空间[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的一个线性变换,证明: 如果[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换.

2022-06-26

[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]是数域[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]上[tex=0.643x0.786]1p65fe6CUUvpZ1I+2NvzNQ==[/tex]维线性空间[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的一个线性变换,证明: 如果[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换.

答案：

证 设[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]在基下[tex=5.0x1.0]uqfxMixAiniFaFwzhN2vVTgBtKplMq07gy1Ot9nIbTvjaxuViq1iJSD8u0pfdbsAJN6pwD0QB0LtKdeT6kdAjw==[/tex]的矩阵为[tex=3.857x1.357]B13bCFRpqFIMM4kO/FWoi72wHcwj/wyX6iUzxv6CCDs=[/tex]只要证明[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]为数量矩阵即可.设[tex=0.857x1.0]hlWtGyLIyd/sFwrliC8LLw==[/tex]为任一非退化方阵,且.[tex=11.857x1.357]lFohQcLiHHoAv3J0jJFfPciFMdKzyBKdUVFY66KbtDodp+xx+jEkTfh8UpoTYIYQv7BRRzv40kJ5R6MgjITRL3K7FSbCyPINkX2idG7tvxv2BgHD37Y7iktN3yws+Xjq/NzE3NPgD6YGoOoFkLvxwDnXF3itnawvPFAXV/ckGII=[/tex]则[tex=3.214x1.0]cImYSH+gyi7+x9lPJcnueFQjWZpO5TDRLwY+Zj3ueEOZ+9mIBT3u5eqT19E6B55p[/tex]也是[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的一组基,且[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]在这组基下的矩阵是[tex=3.714x1.357]w0M8aCIF2y6h7wus5ryZ1w==[/tex]从而即有[tex=4.214x1.214]HExduvomtACPMvXWP4GaTA==[/tex]这说明[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]与一切非退化矩阵可交换.若取[tex=9.929x6.357]tjiutXUK+YWR1VDOtubuxRf8jTAm2GLyRze6AMeu+jApItuU8XxVQMSXIRnfWbwAUsktanMmOQsP2sd7iBOD4AvY5AO8ud9lSX/Z7u4idhRSoiuxR8hCgt9Qe3LrIfyz[/tex] 则由[tex=4.643x1.214]6L98KDtyqKVBdFDIts8LxQsN0deCkmORYUzSkcECXmY=[/tex]知[tex=6.071x1.286]ue1EmLRSqupE6DCR9kZWUyX1n4MS+D5R08CfCibqiI0=[/tex]即得 [tex=12.071x6.5]SG13E7iu2HdaLVWfWJMdagL6+MhRcFb0YC7djcqLstq4PXCM+GJamjQ1UywJgZRcaD7DGtlKwLgt1C+4Ew1wUG9wk7nG0RJ5msDRLMhWl5RArG5wiWL8+zWjsqhX4wk3SDU6W93TdcVBi3AeCx903w==[/tex]再取[tex=15.286x5.786]932gI4j8J4JKvm3FzUEuth9S9t6eigGTOCnx4RnOW9Mj4yqi6azCeWUnYDaUbkva8If2NGIXeim9LLvhTTp2LNtZZgl6hg88SQBo3YKr6mCQQIr2gT5TFG4r9YXCkB89t+dqTYrVaV+uTPy+WC/hF8R8XB5RYhKFaAvqjRiJ1qrqRY5AkujxESPsNL5+1i3qo3nXR3m3/O//vGmZzBjm+Dyie18KnMDmk/RxYFWIUsHU+Y2rx1Zah7Gh72ExAPGGHScw4raUjLA1w2VGlM0v2w==[/tex]由[tex=4.643x1.214]HwZpTWFX7wrC/zqrhto3AA==[/tex],可得[tex=7.786x1.0]m1rsLHiDp1zlJ15rk3B6BWUvNwYSJbWmPRiS/xVi6bQ=[/tex]故[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]为数量矩阵,从而[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]为数乘变换.

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]是有限维线性空间[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的线性变换, [tex=1.0x1.0]TtmWXcLbY6Xavx7AB3bPBQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的子空间. [tex=1.714x1.0]fXuO2AclCgGL3vHwZt70zQ==[/tex]表示由 [tex=1.0x1.0]TtmWXcLbY6Xavx7AB3bPBQ==[/tex]中向量的像组成的子空间,证明：[tex=17.214x1.5]uwohNXPFGlkxdzXDSIlN+vObZZZTFZ18+SK3dzn6af985LYG5plTzLaejYhewYXgm+J8bNrtjiG1P26PpM0lmohggsePBGV9dn6uisQsCOjPHFz4+twQi8d48aAmphJ+XkmLpuz36IyWUeJXmaDQnQ==[/tex]
1
证明：如果线性空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的线性变换[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]以[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]中每个非零向量作为它的特征向量，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数乘变换．
2
主对角线上全是 1 的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。1) 设[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]是一对称矩阵，[tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex]为特殊上三角矩阵，而[tex=4.143x1.286]PLCRSlFW4Sk14mtWW+BKsBtFuqskgtDGydPc/trnFAc=[/tex]证明: [tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]与[tex=0.786x1.0]a61fknG/BUErMmZSy5rpDQ==[/tex]的对应顺序主子式有相同的值;2) 证明：如果对称矩阵[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵[tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex]使 [tex=2.429x1.286]zzZddfnZtoxVubsao6wtYVRM6est3wOdLSyR6cCaPlA=[/tex]成对角形3）利用以上结果证明：如果矩阵[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]的顺序主子式全大于零，则[tex=2.714x1.071]B6mWc2kDS8Yfse4NUbBmRWzjsRIeD32AE5fNLGKz4YU=[/tex]是正定二次型。
3
[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]1p65fe6CUUvpZ1I+2NvzNQ==[/tex]维线性空间上[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的线性变换.1) 若 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的某基下的不阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是某多项式[tex=1.929x1.357]dBlo/NzCnB26olKhQLbAsQ==[/tex]的伴侣阵，则 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的最小多项式是 [tex=2.214x1.357]b5nArzgFLJ6DASJRb/SHta9smvV5kZMTLRI/jKeaQQU=[/tex]2)设[tex=0.786x1.0]3UKvB+w607mbn/eWBx9vkQ==[/tex]的最高次的不变因子是[tex=2.214x1.357]y6h9sSi7o58WaZaLi/bdmkLqveqcSsCG6i9Rv6RyUj8=[/tex]则[tex=0.786x1.0]3UKvB+w607mbn/eWBx9vkQ==[/tex]的最小多项式是 [tex=3.0x1.357]u4fFKcyYej+WwOHYml+E2PDxs3xkuTKOKOfk0CJNCsc=[/tex]
4
设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是线性空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]上的可逆线性变换．证明：１） [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值一定不为０；２）如果[tex=0.643x1.0]7dwHQGHL24uGORI8NryViw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值，那么[tex=1.643x1.357]7hXLKuNcz29qRRA2zjn4rA==[/tex]是[tex=1.714x1.214]d+9NDUvA5ZDrRGeFW5fxcQ==[/tex]的特征值．