[冷却问题]任何物体在周围恒温的环境中冷却的速度与物体和周围温度之差成正比（牛顿冷却定律）.现在，把一个温度为[tex=2.643x1.071]ej7s0DI+cyfMDI3UuaH3Quzl/Oo9Zlhvw3OK78nUBsc=[/tex] 的物体放在温度为[tex=2.143x1.071]mQ4jYw0Eyn984oFfgo/dUb9+q2DccIP6uXMLb3jy99o=[/tex]的大范围空气中冷却，已知它在[tex=2.857x1.0]BijM+Vp5s0/XYMtHdlRhrQ==[/tex]内降至[tex=2.143x1.071]UqBGWUI2HgcPT0r0p8cSMH7zMHIfY3LEoy1L06F/g1A=[/tex],那么再经过多长时间，它的温度可降到[tex=2.143x1.071]krN2D9AxG5xGmKQpjnECdbQlLcU/dckBc/jAOVnBjt8=[/tex]？

2022-06-26

[冷却问题]任何物体在周围恒温的环境中冷却的速度与物体和周围温度之差成正比（牛顿冷却定律）.现在，把一个温度为[tex=2.643x1.071]ej7s0DI+cyfMDI3UuaH3Quzl/Oo9Zlhvw3OK78nUBsc=[/tex] 的物体放在温度为[tex=2.143x1.071]mQ4jYw0Eyn984oFfgo/dUb9+q2DccIP6uXMLb3jy99o=[/tex]的大范围空气中冷却，已知它在[tex=2.857x1.0]BijM+Vp5s0/XYMtHdlRhrQ==[/tex]内降至[tex=2.143x1.071]UqBGWUI2HgcPT0r0p8cSMH7zMHIfY3LEoy1L06F/g1A=[/tex],那么再经过多长时间，它的温度可降到[tex=2.143x1.071]krN2D9AxG5xGmKQpjnECdbQlLcU/dckBc/jAOVnBjt8=[/tex]？

答案：

设物体冷却过程中的温度为[tex=3.143x1.357]DC788fq1XLD6pOV4BWa+XQ==[/tex].根据题意，可列出微分方程[tex=8.286x1.429]piOs7jqhan1mLGcFTFblpQQmzVGrJwoE3gUGc4ezmEs=[/tex], 整理为[tex=7.429x1.429]6Kb7Fm0Sd5Kl6uqda4uIyVxTqIHTxkTjNl/nndxFZUo=[/tex][一阶线性非齐次微分方程]套用一般解的公式，解为 [tex=34.5x2.786]+m0QfI8stitwJbKXBwOzihS+zhTJFjZs+7ReMLFRsS4Z8PrT4O0JaIKqu/IkEAk2FkhB+pnM7kC4TCbv0DLCvkm2znFonU7mPtMU9YhHnJLVqc32xxFML+sQ8cqsmqQkwsY/xkJYkPDUWH88a1bDspZmnOYUOs8tZa/McXjnBDgTA/GUNiXHMa50lGl6ZvZwuYSx5cE8FBcFsoHShu1+9xhPVonREdzsrxvRS7d7C5tDOsNm//7/KbtViTXUoCl+[/tex]根据初始条件[tex=4.143x1.357]PI9FpJkBj/U32CGKGKgnAQ==[/tex], 则[tex=2.214x1.0]TyAhUSZWe4i2jPL/oj4uYA==[/tex],于是,[tex=7.0x1.5]Z0f3SN42jYXJzN7dBCRZJckJCXpjTQni6TJJsDZPV8c=[/tex];又根据已知条件[tex=4.143x1.357]xXbipQJsmNWg2YatpVgqSQ==[/tex], 即[tex=18.643x1.357]8Rp52pf7CvPbeL8hyvj9nOzkWnpGSHvFe1290yvJPkHIjJAJOCmUQY7hmGFiYkW4AGNrg1bU8PF6zxTrhqlzIo2WMJ0lxe2UEgNoQsvDazp+IJH87kirLPm/SkOHYDGx[/tex], 因此,[tex=9.5x1.571]Z0f3SN42jYXJzN7dBCRZJUOhMysR1QV78v2uO+zf+h1q72/zfOMcJGi3qjtL+F9f[/tex]. 最后，要使温度再降到[tex=2.143x1.071]krN2D9AxG5xGmKQpjnECdbQlLcU/dckBc/jAOVnBjt8=[/tex], 则从[tex=8.857x1.429]hizrHZWkViWxkyLI1BVe/lno06WBiTjVoGtEJoZZNUM=[/tex]可得[tex=2.143x1.0]0hwDOlEf73McnTbSqaEpQg==[/tex].因此，再经过[tex=2.857x1.0]BUhRTs6OrPlnuqUZGgvWKw==[/tex], 它的温度可从[tex=2.143x1.071]UqBGWUI2HgcPT0r0p8cSMH7zMHIfY3LEoy1L06F/g1A=[/tex]降到[tex=2.0x1.071]krN2D9AxG5xGmKQpjnECdbQlLcU/dckBc/jAOVnBjt8=[/tex]

举一反三

内容

0
物体冷却速度与该物体和周围介质的温差成正比. 具有温度为 [tex=1.0x1.214]H0mSyAzsdMomNHloZ4SqbA==[/tex] 的物体放在保持常温为[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex] 的室内,求温度 [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]与时间 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex] 的关系.
1
物体冷却速度与该物体和周围介质的温差成正比.具有温度为 [tex=1.0x1.214]fTiSKVYtipiIQUlrTnQ5pg==[/tex] 的物体放在保持隔温为 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 的室内. 求温度 [tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex] 与时间 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex] 的关系.
2
现有一压缩机吸入湿空气的压力为[tex=3.357x1.0]Ib2m5qaIhYyjaU1lNPQJGWV7oPS+L7hH4Q7rlnMyhB0=[/tex], 温度为[tex=2.143x1.071]zt6AQy0PfYUwQvPHkX7UEseOE1BESdkAuAIivrvToWY=[/tex], 相对湿度为0.6 。若压缩机出口空气压力为 0.4 MPa, 然后冷却至[tex=2.143x1.071]PYb0xXrI3iIqBjs1K66pymSacJ4aEdSoBa5rN+fzI/0=[/tex] 。试计算该过程中是否有水滴出现。
3
物体在冷却的过程中温度 [tex=1.786x1.357]3iO7oK3vM5Fy4upa7ugJkg==[/tex] 的变化率 [tex=2.143x1.429]efcXwT/EYFSi2lHj1tMeLg==[/tex] 与物体本身的温度和环境温度之差成正比, 比例系数为常数[tex=2.357x1.071]4T26yXsA0w27cxlSaZXu7w==[/tex].现在[tex=2.429x1.357]ii7R1zRjw7B7Dzta/5tAPg==[/tex] 把一个温度为 50 度的物体放在温度始终保持恒温 20 度的房间内，求此物体温度随时间的变化规律.
4
当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却。若物体的温度[tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex]与时间[tex=0.357x1.286]tv9NEQGfxmSBsvmqN3/Q7Q==[/tex]的函数关系为[tex=3.786x1.286]m0bxTx/DpLywZghVS7epOQ==[/tex]，应该怎样确定该物体在时刻[tex=0.357x1.286]tv9NEQGfxmSBsvmqN3/Q7Q==[/tex]的冷却速度？