设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为一个可逆复矩阵, 证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]可分解为[tex=3.143x1.0]AbbhXvF4e5kW1AuxFA1NhA==[/tex]其中，[tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex]是酉矩阵, [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]是一个对角线上元素全为正实数的上三角形矩阵. 并证明这个分解是唯一的.
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实 (复) 矩阵, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可分解为 [tex=3.143x1.214]bx9fPZCBMZvYv69nOgo9Ew==[/tex], 其中 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 是正交 (酉) 矩阵, [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个上三角矩阵且主对角线上的元素全大于等于零, 并且若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 可逆矩阵, 则这样的分解必唯一.
- 证明：如果正交矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是上三角矩阵，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]一定是对角矩阵并且其主对角元是[tex=3.143x1.286]UpgPA2CfJTcngsFpB0J45Q==[/tex].
- (Jordan-Chevalley 分解定理) 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶复矩阵, 证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可分解为 [tex=3.786x1.143]ZPDCNCiUIwYwOt9O3PBAYA==[/tex], 其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是可对角化矩阵, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是幂零矩阵且 [tex=3.786x1.0]5xVwadhd/UKGXIGbp0aE+w==[/tex], 并且这种分解是唯一的.
- 主对角线上全是 1 的上三角形矩阵称为幂玄上三角形矩阵. 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个对称矩阵, [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]为幂玄上三角形矩阵,证明: [tex=2.571x1.214]s10h1LAywFFP0ACUWpQegw==[/tex]与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的对立顺序主子式有相同的值;
- 证明：如果实矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正交相似于对角矩阵，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]一定是对称矩阵.