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  • 2022-06-29
    设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为一个可逆复矩阵, 证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]可分解为[tex=3.143x1.0]AbbhXvF4e5kW1AuxFA1NhA==[/tex]其中，[tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex]是酉矩阵, [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]是一个对角线上元素全为正实数的上三角形矩阵. 并证明这个分解是唯一的. 
    • 证明: (a) 首先用归纳法证明:如[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为一[tex=2.286x1.071]v8laF85U0CrctV02ZYMlSw==[/tex] 列满秩矩阵，则存在对角线上元素全为正的[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]阶上三角形阵[tex=0.929x1.214]RjlejK6D6JSwVAeYdCSJQw==[/tex] 使[tex=2.857x1.0]SNoUhJ9JeLLqeouf6rcbkg==[/tex] 的列向量组为[tex=1.286x1.0]Z9J5R/6Jeha5MjP/xC9hvg==[/tex] 中单位正交向量组. 对[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]用归纳法.当[tex=1.786x1.0]YDB/rmENXc7VbSIB0L7tWw==[/tex]时结论显然成立. 现假定结论对列数[tex=1.571x0.929]zoj6xZBX2y1bHasywk8oWA==[/tex] 的列满秩矩阵成立. 考察[tex=2.286x1.071]v8laF85U0CrctV02ZYMlSw==[/tex]列满秩矩阵.设[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的列为[tex=4.714x1.0]zptr91mL+rlNxfzTc0pkjX5lw8l05okQSFqCR51xAQAZTy1pCKoH0ULnjzP48MXs[/tex] 则[tex=4.429x1.0]2M7FMeawp1vaAcNmLreSUz6ZIb1aEtePJB7RUACtrA9MSp/bUckI3G7fl4ajOkEu[/tex]线性无关.令[tex=15.071x2.714]er4aWB26KPSn5433phRm7zBx8P/xRQouh0KtsDYxBzaP6Rw4cuQf0fkHfzL6n79V47VUcRXRDpJo2eJyGSbmYjY3SK8tYB19bDIntXaLjQL1XTzSF6PoxKnM/4AqNFFXMh+unCk4XD/YNeqn15sVvgiIRQpGd+xEzF0JIid+TdbLczNjUUZG2n3lQE6Pzjfj[/tex][tex=12.429x6.357]9Dhv75O/jOEQPdhK7w5eKcoFYJQh8VIZKAY7EEq9G9nXJzQ1TxiAYSO6mcyGatU3m5Q8Tm/wy0MNL4bMqnmGAywAiglYenWDsp7dpij4tve2P6aCSwQaVpGNPzJsvI4PNC7fPKN5A0k/EW7VJjoVZ8zMUfNkQQIFztEzHyKjGow=[/tex][tex=11.357x1.357]t0K3IHEu25QXqfIaeUoqVfe9nvqF7boHfe+DNNOQCh2IbpSCruMe2ytNPMXqfQZzCZyJ7Q74bC+1KFsc7qFf1TTotZbLnv07lFPpq5GGPlk=[/tex]则[tex=1.071x1.214]PQfcN+T9uNUhIfQF5NHXvg==[/tex]仍为列满秩, 且[tex=14.857x1.357]tXmgFmx0yMFRhzJlJIFKjRdDH0v6ICtAe59J9szuH4cd63Fvrt6LfwTYfxVxDVQrq+WjTnQF21UixKF+n+f0m7Dk7CN8ZYQ55uhyNUJ6Y6991KFkxxasyrNeq0NwRMGI[/tex].令[tex=7.571x1.357]m8H5EGhS+TkcSoGkS9Ugy21gDObXgf2xH14Vul37APSqLfv5E7W4QHCe8tVmPHeWJd0UDZCRykm6oEInqVhf7A==[/tex]则[tex=1.143x1.214]qvnh6oj2uyTPTGw0DdpyZQ==[/tex]为[tex=4.357x1.357]OZpRRpjekfsWDIA0oWMlXA==[/tex]的列满秩矩阵, 由归纳法假设, 存在[tex=2.214x1.143]KCmuihAs9Q9baVpCuYn0cQ==[/tex] 阶上三角形矩阵[tex=16.286x5.286]lsjzKgoXUn39xlK83GVqLQH0ZXecCqNEQbF2iI7h10z806ciLEHSBZ5Cdeuu3LlOCzL0PxOihUkU6ASKLiezfZoJPocjuOVyZme4KTt4/VoubVRg37dRP7nBoyw0T6lsVwfwyn2rsHY2dMkZpuCXIw==[/tex]使[tex=2.071x1.214]SiU/ZHwCflqcVCaf6h1L0w==[/tex] 的列向量为单位正交向量组.令[tex=7.857x2.786]zmiJ9cCZn4IbzDrO6JAbFfpuMpQYeKO7uwDN+c19OKpkwS9Vxgq5/Op97ZatP2FtKaJ7NQ8r85U7fkACNIoA2k5nB8J6pJ8p9h0UxaWkLX8=[/tex]则[tex=10.786x6.5]7auM7Vr/aTN5VapY2kSBSJJ10BK6GaAiL8ruDVFJGNYEc9eYLEs7BLdfLbX7cQV2yo+3mK9KLtv4ahhoreGx1qjd2QsK3+7vEjFHo9bt5u7EufZ8wKtUw4UJX5SnhaXe[/tex]为上三角形的, 且[tex=2.357x1.214]nlzNRYQxN9/0BDwe1i2o+w==[/tex]令[tex=8.857x1.357]A9eVdgswcKp/2j9c/M6WBNZhwRcYEEH1XNc38il1qhUYteSfbxPht9fq3pU5zdkqyy0hw4PZqv4sOs+hPsYEag==[/tex] 则[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex] 的各列都是单位向量, 又因[tex=0.929x1.214]3GPaN3IuVXVR7YWpWML8Wg==[/tex]与[tex=1.143x1.214]qvnh6oj2uyTPTGw0DdpyZQ==[/tex]的各列正交, 而[tex=1.714x1.214]JL5o8/1OQFQ4IA1bjNmy2w==[/tex]的各列为[tex=1.143x1.214]qvnh6oj2uyTPTGw0DdpyZQ==[/tex]的线性组合, 故[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的列向量组为单位正交向量组.(b) 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆复矩阵, 则由 [tex=1.357x1.357]NnzoLS17pYrzsFi34EYpsA==[/tex] 知, 存在对角线上元素全为正的上三角形矩阵[tex=0.929x1.214]DLmW6nvd2YjTuHsNtSFGkg==[/tex] 使[tex=1.429x1.0]cqophge2xZXJScTFllsPfQ==[/tex] 的列向量组为单位正交问量组. 从而[tex=2.857x1.0]sdPnXGQkiKTEJsQOU5agow==[/tex]为酉矩阵. 令[tex=3.0x1.214]Nu4x5N9rjCdZw406wOqWoQ==[/tex], 则[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]为正三角形矩阵, 又因[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的对角线上元素全正, 故[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]的对角线上元素全正, 且[tex=2.857x1.0]9rx+Oa6iik67NcozdlfYmQ==[/tex].(c) 设另有酉矩阵[tex=1.071x1.214]0QaIR7/R5KLY0DePWHtofQ==[/tex] 及对角线上元素全正的上三角形矩阵 [tex=1.0x1.214]IwnIX+ymTn2PT96bYYErrQ==[/tex],使[tex=3.786x1.214]0XsfPegMeyurMztW29QImKZRjvIz59ej/RO+yxYU8sc=[/tex]则[tex=4.429x1.214]NpR7KFNsxrw9sLVU/p5AiXU1M4mJ5j1CcMGh/jQEqOg=[/tex]从而[tex=6.071x1.5]mkf7IyWWkHZGqX7/6TUuWLzkYB/qcll+beRgoeC7d40=[/tex]上式左边是上三角形阵, 右边为正交阵, 从而[tex=2.786x1.429]SPluAT1DnKgk7YN6KE0ZYw==[/tex]为对角阵，又因此矩阵的对角线上元素全正, 故 [tex=4.571x1.429]yA6MqFG1u3lpzgdCLXoHXs01rzCPsEgmglzsX2f0ik4=[/tex] 于是[tex=6.571x1.214]+9wKVaXrkraePGf4X4dOHiJPNG2uHVruQ0HzBreNLOY=[/tex]唯一性得证.
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    举一反三

    内容

    • 0

      二阶实正规矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 不是对称矩阵, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正交矩阵的充要条件是  未知类型：{'options': ['[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的行列式值等于 1', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的行列式值等于 -1', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是可逆矩阵', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是奇异矩阵'], 'type': 102}

    • 1

      主对角线上全是 1 的上三角形矩阵称为幂玄上三角形矩阵. 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个对称矩阵, [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]为幂玄上三角形矩阵,即有: [tex=2.571x1.214]s10h1LAywFFP0ACUWpQegw==[/tex]与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的对立顺序主子式有相同的值，证明：如果对称矩阵的顺序主子式全不为零, 则存在一幂玄上三角形矩阵[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex], 使 [tex=2.571x1.214]K1hOHaJFllTcd/edNyuKTw==[/tex] 为对角形.

    • 2

      设实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]所有特征根的模都是 1，请证明：[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正交矩阵。

    • 3

      试推导矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的[tex=2.643x1.0]fMLfuVHw2Znp3WD2R+LHOw==[/tex] 分解的计算公式[tex=3.5x1.0]cDW+JlMHFq3Vag+Jwcqorw==[/tex],其中[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]为下三角矩阵, [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex]为单位上三角矩阵.

    • 4

      设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级正交矩阵，证明：如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有特征值，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值是1或[tex=1.286x1.143]Mj6+lbt3rBoas+xQLVX/oA==[/tex].