举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实 (复) 矩阵, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可分解为 [tex=3.143x1.214]bx9fPZCBMZvYv69nOgo9Ew==[/tex], 其中 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 是正交 (酉) 矩阵, [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个上三角矩阵且主对角线上的元素全大于等于零, 并且若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 可逆矩阵, 则这样的分解必唯一.
- 证明:如果正交矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是上三角矩阵,则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]一定是对角矩阵并且其主对角元是[tex=3.143x1.286]UpgPA2CfJTcngsFpB0J45Q==[/tex].
- (Jordan-Chevalley 分解定理) 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶复矩阵, 证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可分解为 [tex=3.786x1.143]ZPDCNCiUIwYwOt9O3PBAYA==[/tex], 其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是可对角化矩阵, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是幂零矩阵且 [tex=3.786x1.0]5xVwadhd/UKGXIGbp0aE+w==[/tex], 并且这种分解是唯一的.
- 主对角线上全是 1 的上三角形矩阵称为幂玄上三角形矩阵. 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个对称矩阵, [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]为幂玄上三角形矩阵,证明: [tex=2.571x1.214]s10h1LAywFFP0ACUWpQegw==[/tex]与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的对立顺序主子式有相同的值;
- 证明:如果实矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正交相似于对角矩阵,则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]一定是对称矩阵.
内容
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二阶实正规矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 不是对称矩阵, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正交矩阵的充要条件是 未知类型:{'options': ['[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的行列式值等于 1', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的行列式值等于 -1', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是可逆矩阵', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是奇异矩阵'], 'type': 102}
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主对角线上全是 1 的上三角形矩阵称为幂玄上三角形矩阵. 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个对称矩阵, [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]为幂玄上三角形矩阵,即有: [tex=2.571x1.214]s10h1LAywFFP0ACUWpQegw==[/tex]与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的对立顺序主子式有相同的值,证明:如果对称矩阵的顺序主子式全不为零, 则存在一幂玄上三角形矩阵[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex], 使 [tex=2.571x1.214]K1hOHaJFllTcd/edNyuKTw==[/tex] 为对角形.
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设实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]所有特征根的模都是 1,请证明:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正交矩阵。
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试推导矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的[tex=2.643x1.0]fMLfuVHw2Znp3WD2R+LHOw==[/tex] 分解的计算公式[tex=3.5x1.0]cDW+JlMHFq3Vag+Jwcqorw==[/tex],其中[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]为下三角矩阵, [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex]为单位上三角矩阵.
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设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级正交矩阵,证明:如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有特征值,则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值是1或[tex=1.286x1.143]Mj6+lbt3rBoas+xQLVX/oA==[/tex].