证明: [tex=2.0x1.357]bhIid+utCyrxmES94DkZ5Q==[/tex] 中一个 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次 [tex=3.214x1.357]3v8oITlFKdpOMseWKj2iV4GAQRAhLzmH+sXlhlPYXOU=[/tex] 多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 能被它的导数整除的充分必要条件是它与一个一次因式的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂相伴.

2022-06-29

证明: [tex=2.0x1.357]bhIid+utCyrxmES94DkZ5Q==[/tex] 中一个 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次 [tex=3.214x1.357]3v8oITlFKdpOMseWKj2iV4GAQRAhLzmH+sXlhlPYXOU=[/tex] 多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 能被它的导数整除的充分必要条件是它与一个一次因式的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂相伴.

答案：

解： 充分性显然.必要性. 利用去掉 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的不可约因式的重数的方法可得，[tex=9.857x1.429]L5Y5AmkiwAHM4uizwDtkcx/oJWE9V7F/4qGxCM2gl0HWiOMLGOPOlhXWMEpGgBxZ[/tex]其中 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 含有完全相同的不可约因式, 但 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 没有重因式. 因为 [tex=4.571x1.429]RWQvAXeGuSlxLWaqUR+bl4BWWCmezX89wbQysioFMiQ=[/tex] 所以 [tex=9.071x1.429]agOHETojOlZCoyhdVrXCurKgxoSsUDBvWom9rX/vrEV9F2NDCMQsJOTua3OSERrAS4I6A1CJhFdhq8w5MuEtIA==[/tex] 从而 [tex=7.357x1.429]QCq7tGjlY38Jo/UA4B7Ng01ZYWmw+dM6vyJPDyyQbYs=[/tex] 比较此式两边的多项式的次数得 [tex=4.857x1.357]MCluBYzHNEhNEwSiLP6zIA==[/tex] 于是 [tex=9.357x1.357]gXrqY+1dw1zXARPrycvwpGdmWco8G7eVULr6DSXypS0=[/tex] 且 [tex=2.643x1.214]Mb0EeZyFD6w5fr2gzUiTFg==[/tex] 从 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的不可约因式的关系立即得出所要证的结论.

举一反三

内容

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证明：数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上的一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]能被它的导数整除的充分且必要条件是[tex=5.786x1.857]rvxDb4yZzzZueL5VRhZswR53HJzzePuFezIHz054AIA=[/tex]，这里[tex=0.571x0.786]7G1MINzwputr5mgALyjQfA==[/tex]，[tex=0.429x1.0]dX3JVuFw9r8t2KlWf+/Z+A==[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]中的数.
1
证明：数域[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex] 次[tex=3.214x1.357]gJkFLWVH5zNk75r8/evhfA==[/tex]多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]能被它的导数f(x)整除的充要条件是[tex=7.214x1.357]lmeBkU8/ruK6t5RxRgcerg==[/tex]，其中[tex=3.286x1.214]oeWZ4kdc5N+8h2+UwE9GFw==[/tex].
2
[tex=1.786x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 中的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中最多有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个不同的根.于是 [tex=8.643x1.357]a5eM7c+YtekTg+IjO3NtkpQxt4Uzx3VSJn2p2b19dC84J7eG+LzJPJtZ2SlxsKT4[/tex]在 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中若有多于[tex=1.929x1.143]aJigoMJPQig1KIbQpW0DPw==[/tex] 个根,必是零多项式.
3
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次有理系数多项式, 若 [tex=2.5x1.071]UmcDBu0nDM7wGDdKxgvEEg==[/tex], 求证: [tex=1.429x1.429]CHT4LSgbMdocanZXSUSLsA==[/tex] 必不是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根.
4
证明，设正整数[tex=3.0x1.143]y9waEgZ1sBnU9mr8lb4z6Q==[/tex]，并且[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次整系数多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]的[tex=3.571x2.214]t52cQAsFAmSV6XlZMXYYyMhzZEX31fySn77CO0Ut4WU=[/tex]个以上的整数值上取值为[tex=1.286x1.143]tkm29yuKKtwOsgBeQx8hOw==[/tex]，则[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=0.786x1.214]qWTwUSIEBK1EwCOmwQzggg==[/tex]不可约。次数[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的下界12是否还可缩小？