设函数[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]分别对每个变量[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 连续，且对[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 单调。试证[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]为连续函数。并举例说明，函数 [tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex] 分别对每个变量[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]是连续函数，但[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]不一定是连续函数。

2022-06-29

设函数[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]分别对每个变量[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 连续，且对[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 单调。试证[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]为连续函数。并举例说明，函数 [tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex] 分别对每个变量[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]是连续函数，但[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]不一定是连续函数。

答案：

分析 由于[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]为抽象函数，注意已给条件，可由[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex] 的连续性的定义来证。证 任给点 [tex=3.571x1.286]cVunzTcUd43bQjB8k0W5voqdTHU9Fm9DSqs458sfg3sCh7SRubW4sa3k7auAK+uW[/tex]， 因[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex] 对于[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]  是连续的，故对于任意 给定的 [tex=2.286x1.286]agbj3VZO5e3/0KnI5wCMSKLl3aP3w8IOLV//cMDwSdM=[/tex]， 存在 [tex=2.714x1.286]oFXA3KHsot4HTJjDe1d2MyC1L7nZq4DHZArlTH5nQIg=[/tex]，使当 [tex=5.286x1.286]EnqcyTzBittJ8bja/ydzsYAJxSmmMSET5JwVTnILY2c02okRPrQlwH+viatIiryD[/tex]时，有[tex=12.0x1.786]WoWZTqV1/T0ISNfvp4pdfwu6P0Jv94dS3Uth44bd+mdJW/KYMVrZh0i+i3484oDEHUImlQTMaTLnFWHsTCMRqXPHEgrjUZGEutG06XzhGLU0x4Jowsw0ap5ixPiMNEX8[/tex]。又因 [tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]对于[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 是连续的， 于是对于上述 [tex=2.286x1.286]agbj3VZO5e3/0KnI5wCMSKLl3aP3w8IOLV//cMDwSdM=[/tex]， 存在[tex=2.714x1.286]R1Jj7GKQAal31S3xWAYo+kWGqyGEwJebD+uOAGotrag=[/tex]，使当 [tex=5.429x1.286]+MU+B/CvRtOkgbyuBZk45B+5nsMK/D/avHz/GYBZVHncngQzEwpjC5WfCr9v3DJN[/tex]时，有[tex=16.071x1.786]WoWZTqV1/T0ISNfvp4pdf+uhNjP2sDKXJcLdQfenoSAbU8HU8dYLm+gE2hUjMjI2UcYVsW4PsZ+94B+SLd3hSI19go5lAsy8PUeM5GIH7aZeIym/8AUvjX2ID1+S1stkL8hPEr5K4H9yS3xhuRxrwNA320v8Sqgja9mgdFsW/m8=[/tex]。不失一般性，设[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]对[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]  单调递增，则当[tex=5.429x1.286]+MU+B/CvRtOkgbyuBZk45B+5nsMK/D/avHz/GYBZVHncngQzEwpjC5WfCr9v3DJN[/tex]，[tex=5.286x1.286]EnqcyTzBittJ8bja/ydzsYAJxSmmMSET5JwVTnILY2c02okRPrQlwH+viatIiryD[/tex]时，有[tex=17.857x1.286]dvn2Xk9K/Q4OaqdQA3+MM5kAkxRtiiBirqTqLlwnUKZBXJGhhwyYuL6NChP4dY2eHNFMGJqsrREpqVJ05PTgCoaK9Q/O1G80Vh56xzBFNZt7ADmrFuSu4X3bVq0IxHCVD2oQ2H46t99i1WSoZfs8uw==[/tex]。因此[tex=14.571x6.786]Ck4j1YFlvVH5wCAykOEMiwugwNCXTfTHRoYJd1LjrYEVch/xZtubABY9scZRki25+/7Vw41AzZEL4c7IGRewR7H1ewvs5g8zsZGYOm/LPd+L/cC2vGd8Vx76LVwNe8NzjbnSHjNg1+0p0XsPYDTN7Rp3Yv9xhjuKHvErEbU7TZNN25J8qRIinpN0K+k2RNZ/hIVbR/vewTIjMXB+j95XYnOOuM/SChgSCVfHuHRHgb981wnnvez9EsJ9MF5c0ncHlMzb6WyTqxqzefQeihvbFCFsjlOCNRAjnweo1I6eFnxHEz7fDRo7xCzaDQb08LRPSZ3jJa342xCkQSM6HYzUAmhuXILnHc7sgbTZ3Sku3nLTsmNJcvVn7tyBd749woK+M2IVXGuBrg1mniW65RWz51bDm0SWf34UK78B+44E2CrXU8tXevN7jJUGjQl3XTQoc6jZrKRNWgwd+r2uTQnLnp1kXm1XEUfjE+y5z5XS/+A=[/tex]所以，函数[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]在任意点[tex=3.571x1.286]cVunzTcUd43bQjB8k0W5voqdTHU9Fm9DSqs458sfg3sCh7SRubW4sa3k7auAK+uW[/tex] 是连续的， 即函数 f(x， y) 是连续函数。例如函数[tex=14.429x4.214]bB1ZlYPk17945k3PH3rZiPI0mKJq6sG+HmEMnOQsOmpHKFXy4EN4UFzVTCnb5UmUxUukGIl4tMiU4suh0yW0gV7d9B/C9pmWun/KUr8bnotBo25UefuYeUH0bQhq6XGvAQvfuTbEBPGwKOEbBjUDolSn6iWrtotxtTvRoWDDC/Q=[/tex]在点[tex=2.643x1.286]7FmujP6G7KhvOdFhc7hpbQ==[/tex] 处，仅变量[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 有增量 [tex=1.429x1.286]d4gpE9CLD0i3xtlUcii7Rg==[/tex] 时，因为[tex=25.071x2.286]8+/oqxHVkhUml0LAR1kATnq6F5s90nvu5Ren0B6O5keK6H4NrOfTft4RVHXD6hTqYzk8odITGmSH3GJ0NSBuFBYA8wd6KTqud3h0sr0xYN/ezDN0nHKKzJ4pEplr7uQyY1rnRwmgPl3JSe5YL43k21NxMIPxrJH3TGjEzcnerzHWwk7ZaLM/Tv8/ks1ZK4iQzHu5qNLlVdC3/mgKnoJxcg==[/tex]，故函数[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex] 在点 [tex=2.643x1.286]7FmujP6G7KhvOdFhc7hpbQ==[/tex]处对变量 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]是连续的。同理， 函数[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]在点 [tex=2.643x1.286]7FmujP6G7KhvOdFhc7hpbQ==[/tex] 处对变量 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]也是连续的。但当点[tex=2.786x1.286]cBj8MNfao3onaaHZICsbpQ==[/tex]沿直线[tex=2.929x1.286]CRdKfeCVDULwaMQlqQbhEQ==[/tex]趋于点[tex=2.643x1.286]7FmujP6G7KhvOdFhc7hpbQ==[/tex] 时，极限 [tex=18.5x2.429]EZ+v67wwAibSxJ+mo18iPyX3KHKmfrw3Y8hkGVX+b9f1SjltodAWYk8XfepHNiTOF2oI/16mN+cnaLoJ+OyDvTcyKh0ijA+7XQ1f+EZf/Kj1tcrDSdpC+s0X7oJZedvvrFo+tfPAhv2yKGyQQ3N4H+rKOuW4kn4irAz6Ewp9OYjoA8dFb6BOH97BRRt0PNyy[/tex]故极限[tex=5.143x2.071]MqOfsQLAB/zeVSdv1WggGLOCgqvw+J+1IXgem2vm2fDa52vSBL/b2waDCRecRbCLobfdYaDWRf0t5PkhiB2S+w==[/tex]不存在。 于是函数[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]在点[tex=2.643x1.286]7FmujP6G7KhvOdFhc7hpbQ==[/tex]处是不连续的。所以， 函数[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex] 分别对[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 连续时，[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]未必连续。

举一反三

内容

0
在一元线性回归模型中，反映的是未知类型：{'options': ['除[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]与[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]的线性关系之外的随机因素对[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]的阻碍', '[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]转变引发[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]的线性转变部份', '[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]与[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]的线性关系对[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]的阻碍', '[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]转变引发[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]的线性转变部份', '线性方程不能反映的[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]转变'], 'type': 102}
1
设[tex=3.357x1.286]wErsnHRY9kGFNaB4WcQbMw==[/tex]为连续函数。且对任意平面曲线 [tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]，都有[tex=7.214x2.214]zG4A0CVmODmaWZ6CH+LevgMT5oUKPtZKUngNnq1XqEU=[/tex] 。试证[tex=5.143x1.286]n5dp97NK9HLHEWHayeygrcU2j4+dzqZSqMQ+VbLBAkM=[/tex]。
2
写出[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]关于[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]的复合函数：[tex=5.5x1.286]j9h500y6C3m3DQr34OyTsQ==[/tex]，[tex=4.071x1.286]MAyQc25nGKIkoddi8Tvbqw==[/tex]，[tex=2.786x1.286]FIOxfuQJb2iHgSXNV5PFCg==[/tex]。
3
下列方程确定了[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]是[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]的函数，求[tex=1.286x2.0]OGAjRcJyQXW7i4XINcDIS3Lmn0wcS1lrZnO5I08dMGM=[/tex]．[tex=4.929x1.286]4rObnZsWIktZQCLgBIyEwDRKIYYSV+ClKal5mMRLRFw=[/tex]．
4
下列方程确定了[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]是[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]的函数，求[tex=1.286x2.0]OGAjRcJyQXW7i4XINcDIS3Lmn0wcS1lrZnO5I08dMGM=[/tex]．[tex=3.286x1.286]DrihFZ+W7qOcBeXix0z7Xjhuy5CnIxg0Kldi688DQMU=[/tex]．