设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是复数域上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的线性变换. 证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化的充分必要条件是, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的每一个特征值的几何重数等于它的代数重数.
举一反三
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上任意一个线性空间 (可以是无限维的), [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的一个线性变换. 证 明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的一个线性空间, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的一个线性变换. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的幂等变换, 则 [tex=7.429x1.214]9EEqBINFlBjBDctgmBR710iQzzjdHLq0qFl5D2J7LoJfKUhIUE/hne1q9q9IngGOMdMLoA+ggeiu2E4r1hRMtA==[/tex] 并且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是平行于 [tex=2.571x1.0]7sm0+A17+tx/lVOuO5S85JZirYSY+u4Jmoo206BMmy8=[/tex] 在 [tex=2.143x1.0]Hxr+WAd0pdX8wRxoSXYGR4QAnDyuqv4xTysdYL2/0eA=[/tex] 上的投影.
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级矩阵，[tex=1.0x1.214]Km/qUtFFKwzj+P2mZlKsTQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的一个特征值.证明：[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]属于[tex=1.0x1.214]Km/qUtFFKwzj+P2mZlKsTQ==[/tex]的特征子空间的维数不超过[tex=1.0x1.214]Km/qUtFFKwzj+P2mZlKsTQ==[/tex]作为[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征多项式的根的重数(我们把前者称为特征值[tex=1.0x1.214]Km/qUtFFKwzj+P2mZlKsTQ==[/tex]的几何重数，后者称为[tex=1.0x1.214]Km/qUtFFKwzj+P2mZlKsTQ==[/tex]的代入重数）.
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵, 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的伴随 [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex] 也可对角化且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和 [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex] 可同时对角化.
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵且有特征值 1, 又 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 只有一个线性无关的特征向量. 求 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 Jordan 标准型.