设[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为集合[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]到集合[tex=0.929x1.286]LVX5vc/W3cjHwTt0bN3vBg==[/tex]的映射，[tex=0.5x1.286]xchkYdkyGsHZyvcALOmunw==[/tex]为集合[tex=0.714x1.286]DukDxHxPOc44nPzii5M3Bw==[/tex]到集合[tex=0.929x1.286]pklyOURbfRZ+EzHdcW+s8g==[/tex]的映射，证明：（1）如果[tex=1.143x1.286]cw/xj2Um4/EiSYeHVKBxNw==[/tex]为单映射，则[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为单映射；（2）如果为[tex=1.143x1.286]cw/xj2Um4/EiSYeHVKBxNw==[/tex]满映射，则[tex=0.5x1.286]xchkYdkyGsHZyvcALOmunw==[/tex]为满映射。

2022-06-26

设[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为集合[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]到集合[tex=0.929x1.286]LVX5vc/W3cjHwTt0bN3vBg==[/tex]的映射，[tex=0.5x1.286]xchkYdkyGsHZyvcALOmunw==[/tex]为集合[tex=0.714x1.286]DukDxHxPOc44nPzii5M3Bw==[/tex]到集合[tex=0.929x1.286]pklyOURbfRZ+EzHdcW+s8g==[/tex]的映射，证明：（1）如果[tex=1.143x1.286]cw/xj2Um4/EiSYeHVKBxNw==[/tex]为单映射，则[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为单映射；（2）如果为[tex=1.143x1.286]cw/xj2Um4/EiSYeHVKBxNw==[/tex]满映射，则[tex=0.5x1.286]xchkYdkyGsHZyvcALOmunw==[/tex]为满映射。

答案：

证明：（1）对任意的[tex=4.071x1.286]6ZYHpy2r10gJQeDJLbqA+wYBaKoCuFP0Lx6fblGKxXg=[/tex]，如[tex=6.0x1.286]1mzjCE0H+Kpm4wzFm2eR5XWAue1bOELpXD0mZySUIN7V61Gj5NSqfHw7LO6Bbd32[/tex]，[tex=7.0x1.286]CGUHGSsJZjgbG7aDkdP9aYpJyE47OsiASYKaAowyrmgUoWnchGa8uH2w3eonsuUHkMffADGKPiCZ0NEVx0Nj7w==[/tex]。因[tex=1.143x1.286]cw/xj2Um4/EiSYeHVKBxNw==[/tex]是单映射，故[tex=3.071x1.286]7/+B7Dse6gFyV1I8VgHtkbnTWGbZjW6xVCcUw/+3trA=[/tex]，从而[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]是单映射。（2）对任意的[tex=3.286x1.286]e5nS7gdSNd8ZY3InxBwxsMEEVBP1p8P05PWstNmnTW+stdsRCVeB+efREGkVMJKK[/tex]，因[tex=1.143x1.286]cw/xj2Um4/EiSYeHVKBxNw==[/tex]是满映射，故存在[tex=2.357x1.286]izaHdn7wT1Zx6SD+cXieJg==[/tex]，使[tex=4.571x1.286]PQ/5AMiDYT2w11XHp10Mf3zd8GHX3PDgaPss3vpY0fY=[/tex]，从而[tex=5.929x1.286]6UTq667EoiXJMHD7liO9ssGA7GChrXx/fysjWrHz63reV4po+BB34REith4dDc5/[/tex]，使[tex=4.357x1.286]k2MuAm4bpUusKaQAfBETddhiLz+reeNAu+OXFQ1GX3D63zeO+2Mw0PZ2flOPLbdk[/tex]，故[tex=0.5x1.286]xchkYdkyGsHZyvcALOmunw==[/tex]是满映射。

举一反三

内容

0
设X和Y是两个拓扑空间，[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是一个连续映射，证明：如果Z为X的一个连通子集，则[tex=2.071x1.286]4Z9CM7uE3guEK2sbbmjgzg==[/tex]是一个连通子集。
1
设X和Y是两个拓扑空间，[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是连续映射，证明：如果[tex=0.786x1.286]YmC97Clv6J6k2IyNV61eAw==[/tex]是[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的一个连通子集，则[tex=2.143x1.286]lYyNPJbhUCYK1wTeekhvmA==[/tex]是Y的一个连通子集。
2
设[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]，[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]都是幺环，[tex=0.786x1.143]Fx9OZJkFOsEKWqHq2ldQJA==[/tex]，[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]分别为[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]与[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的幺元，映射[tex=3.714x1.214]CvfCeDGXNyepssyzmki33HDVaWzCx2JS9WFNkB4Qk6Y=[/tex]是同态且[tex=3.643x1.429]yf5JDaNkdR3YDbV38a/wgh9R0HFW/7T44NIbm+zVfHU=[/tex]，又设[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]是一个[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]模，证明：[tex=2.857x1.143]ioqC9rRqzIAxmZ0sUU0HEQ==[/tex]到[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]映射[tex=6.0x1.357]0z0Id8cj43tSuGKa24+46oPjniVcoD2tN5HAEnuqk24=[/tex]，[tex=2.357x1.286]NxjaiHDMvwiWn79bA8lJJQ==[/tex]，[tex=2.857x1.286]rMPwe7sc/P6V7JoJW2PjKw==[/tex]使[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]成为[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]模。
3
证明集合[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是无限集的充分必要条件是对于从[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]到[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的每个映射[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]，有[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的非空真子集[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，使[tex=4.143x1.357]23z35s+omZky5GB/Xloakg==[/tex]。
4
设 [tex=2.429x1.0]4UtdoATYkKYd/cmJ5vuznw==[/tex] 为三个度量空间 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 到[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]中的连续映射, [tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex] 到 [tex=0.714x1.0]RRR4SYyCqv01G5bWEEMPdw==[/tex] 中的连续映射,证明复合映射 [tex=7.571x1.357]E8GQPgdLdGz2icysNYfXuszqVJCCxJncdJ2P9ylxwfePwMe+nYuosrDldpGjV2jX[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 到 [tex=0.714x1.0]RRR4SYyCqv01G5bWEEMPdw==[/tex] 中的连续映射.