如果向量组 [tex=5.071x1.0]DDCPU3Fy/FArEpQoRZpl6jDx8EPNTFRgmnyze/3BoCM=[/tex] 张成一个非零向量空间 [tex=0.929x1.214]QRu1dOIpRfeeOsjYoJRpWQ==[/tex] 证明: 存在由该向量组的一个部分组构成的 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的基.

2022-06-26

如果向量组 [tex=5.071x1.0]DDCPU3Fy/FArEpQoRZpl6jDx8EPNTFRgmnyze/3BoCM=[/tex] 张成一个非零向量空间 [tex=0.929x1.214]QRu1dOIpRfeeOsjYoJRpWQ==[/tex] 证明: 存在由该向量组的一个部分组构成的 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的基.

答案：

证明  在非零向量组 [tex=5.071x1.0]DDCPU3Fy/FArEpQoRZpl6jDx8EPNTFRgmnyze/3BoCM=[/tex] 中找一个极大线性无关组，设为 [tex=6.214x1.0]4/nMfNndZNAitLB38jW4zHd+Hk0yR0AO1z8xOkz1aTjr8Ymp2SGXoWw9f4aAnZd0[/tex] 由于极大线性无关组与原向量组互相等价, 因此由生成子空间的定义可知 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 中的每个元都可以由线性无关向量组 [tex=5.929x1.0]LLvpWey+xlZrN7/CFqgeqCbJ9//76POuxAO8r+BlEkw=[/tex] 线性表示, 因此 [tex=5.929x1.0]LLvpWey+xlZrN7/CFqgeqCbJ9//76POuxAO8r+BlEkw=[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的基.

举一反三

内容

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证明：如果向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的每一个向量都可以唯一地表成[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中向量[tex=1.0x1.0]PKm+ED/8cg/u4z2vW4MmrQ==[/tex]，[tex=1.0x1.0]5vfckb5Fh/s181aB3Qm07Q==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.071x1.0]JpINJ7B6c472Pul9K1BbYQ==[/tex]的线性组合，那么[tex=3.857x1.0]NovbxKl63Ey/milqTcbe//ghBF9EdlQj8XG2+fjtSpk=[/tex].
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设[tex=4.429x1.214]wdHwRVgwC7JparTaLH/Q2vH/V2im91ju8tzz2wt+Roc=[/tex]是向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]到[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]的一个同构映射，[tex=1.0x1.214]Gyk9oZZNuuqd3a3TjbH+bQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间。证明[tex=2.429x1.357]YrkV0/qOeegIRB3IehV7HgVgW3nV/pANLcX/DE49WN8=[/tex]是[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]的一个子空间。
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设 [tex=2.571x1.214]KV1JYLtWo7PgXKV96f5fCg==[/tex] 是域 [tex=2.5x1.214]kigtu05vD/ZkLtOPJs7q7u0YEIuaSx4BVWI/2dSy16g=[/tex] 上的向量空间. 证明: [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 可以表为 3 个真子空间的并.
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证明：数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个线性变换[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是一个位似(即单位变换的一个标量倍)必要且只要[tex=0.571x0.786]KMF8QHqVjNLkn7nK5uaSag==[/tex]关于[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的任意基的矩阵都相等。
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设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 和 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的向量空间, [tex=5.429x1.0]5XWH7n5GxMHnX5nq+6dNyVv08PxRWhXq62sIUFVWQn5AtOp5a55Sjoba/INzUbjU[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一组基, [tex=5.786x1.0]rkTpN1N8fnivSCMqkApx5h1kL8np/aV+PV/kl1bYUP5FcQ6KJiSaGI+kCAWWoQxO[/tex] 是 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 中 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个向量, 求证: 必存在 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 到 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 的唯一的线性映射 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex], 使 [tex=4.071x1.357]YTKB7Lm/TRd5jffCkeKNV5GxJua+o6w2yz+r4g0mWArdwin4hyBX+dmneblYN28a[/tex]